9.7 Exercises

Exercise 1
Pada konfigurasi yang digambarkan dalam Gambar 9.22, nilai variabel dan gradiennya di titik C diketahui. Dengan menggunakan nilai-nilai yang diketahui tersebut, perkirakan nilai di titik F.

Latihan 2:
Untuk dua sel yang ditunjukkan pada Gambar 9.23, nilai dari beberapa skalar φ di pusat massa mereka C dan F dapat dihitung dari:

Gradien di C dan F juga dihitung agar menjadi gradien yang tepat dari fungsi di titik-titik ini, sehingga

Dengan C dan berada di (0,32, -0,1) dan (0,52, 0,31), masing-masing, temukan nilai gradien di wajah f (0,43, 0,1) secara numerik (bukan dari ekspresi untuk gradien) menggunakan:
a. Penyederhanaan sederhana antara C dan f.
b. Penyederhanaan yang dikoreksi antara C dan f
c. Bandingkan dua nilai yang dihitung dengan gradien yang tepat di titik

Exercise 3:
Pertimbangkan mesh yang terdiri dari elemen segitiga sama sisi yang ditunjukkan dalam Gambar 9.24. Koordinat titik-titik mesh adalah seperti yang ditunjukkan. Suhu di pusat sel diberikan oleh

a. Hitung gradien di 1 menggunakan metode Green-Gauss.
b. Hitung gradien di 1 menggunakan pendekatan kuadrat terkecil dengan stensil terbatas (yaitu, simpul 2, 3, dan 4) dan dengan stensil yang diperpanjang (yaitu, simpul 2–13) yang digunakan untuk rekonstruksi.
c. Bandingkan gradien kuadrat terkecil dengan stensil terbatas dan diperpanjang dan gradien Gauss dengan gradien yang tepat.

Exercise 4:
Pertimbangkan mesh seragam yang ditunjukkan dalam Gambar 9.25. Koordinat titik-titik mesh adalah seperti yang ditunjukkan. Suhu di simpul-simpul sel diberikan oleh.

Hitung gradien di pusat massa sel 1 menggunakan gradien Gauss dengan dan tanpa koreksi wajah, dan bandingkan dengan gradien yang tepat yang diberikan oleh

Latihan 5 (uFVM, OpenFOAM®):

Menggunakan uFVM dan kemudian OpenFOAM®, tulis program yang: a. Membaca mesh OpenFOAM® dan mengatur bidang skalar dengan nilai b. Menghitung gradien menggunakan metode kuadrat terkecil orde kedua. c. Menghitung gradien menggunakan metode gradien Gauss dengan interpolasi linear. d. Menghitung gradien menggunakan metode gradien Gauss dengan interpolasi vertex. e. Menghitung akar rata-rata kesalahan kuadrat antara masing-masing gradien yang dihitung dan gradien yang tepat.

Exercise 6 (uFVM, OpenFOAM®)

Berikut adalah langkah-langkah untuk membuat program yang diminta dalam bahasa Indonesia:

a. Membaca mesh OpenFOAM® dan menetapkan bidang skalar dengan nilai yang sama dengan fungsiGunakan gradien yang tepat di simpul elemen untuk menghitung gradien di wajah interior.

b. Gunakan interpolasi linier sederhana untuk menghitung gradien di wajah interior.

c. Gunakan interpolasi linier yang dikoreksi untuk menghitung gradien di wajah interior.

d. Hitung formulasi gradien yang tepat di pusat massa wajah.

e. Hitung rata-rata akar kuadrat kesalahan antara setiap gradien yang dihitung dan gradien yang tepat.

Untuk implementasi, Anda akan memerlukan pengetahuan tentang penggunaan uFVM dan OpenFOAM®, serta keterampilan dalam pemrograman menggunakan C++ atau bahasa pemrograman lainnya. Anda perlu membaca dokumentasi dan contoh kode yang disediakan dengan uFVM dan OpenFOAM® untuk memahami fungsi dan kelas yang diperlukan untuk manipulasi mesh, pengaturan bidang skalar, perhitungan gradien, dan perhitungan kesalahan.

Setelah memahami komponen-komponen ini, Anda dapat mulai menulis program Anda dengan menggunakan API yang disediakan oleh uFVM dan OpenFOAM®. Pastikan untuk mengikuti panduan dan praktik terbaik dalam pengembangan perangkat lunak dan melakukan pengujian menyeluruh untuk memverifikasi keakuratan implementasi Anda.

Exercise 7

Dari kita dapatkan Jadi, Persamaan (9.9) diperoleh dari Persamaan (9.8).

Exercise 8 (OpenFOAM®)

a. Untuk mencatat semua jenis definisi gradien yang tersedia dalam OpenFOAM®, Anda dapat memodifikasi file fvSchemes di direktori fvSchemes dengan menambahkan nama skema gradien yang salah ketik. Misalnya, Anda dapat menambahkan skema “banana” ke dalam daftar gradSchemes. Setelah itu, jalankan solver atau aplikasi apa pun yang menggunakan file fvSchemes tersebut. OpenFOAM® akan memberikan pesan kesalahan yang mencantumkan semua opsi yang tersedia untuk skema gradien.

b. Untuk menentukan opsi menggunakan algoritma gradien kuadrat terkecil (least square) secara eksplisit, Anda dapat menambahkannya ke dalam file fvSchemes di direktori fvSchemes. Pastikan untuk menambahkan entri yang benar dengan menggunakan sintaks yang sesuai dengan format yang diharapkan oleh OpenFOAM®.

c. Untuk menganalisis dan memahami operasi serta tujuan dari fungsi anggota correctBoundaryConditions, Anda dapat merujuk ke dokumentasi Doxygen OpenFOAM® yang memberikan penjelasan detail tentang setiap fungsi dan kelas di dalamnya. Ini akan memberikan wawasan yang lebih baik tentang bagaimana fungsi tersebut bekerja dan tujuan dari penggunaannya.

d. Untuk mendefinisikan opsi menggunakan gradien terbatas (limited gradient) untuk face dan sel, Anda dapat menambahkannya ke dalam file fvSchemes di direktori fvSchemes. Pastikan untuk menggunakan sintaks yang sesuai dengan format yang diharapkan oleh OpenFOAM®. Misalnya, Anda dapat menambahkan entri “Gauss limited 0.8” ke dalam daftar gradSchemes.

References

1. Ferziger JH, Peric ́M (2002) Computational Methods for Fluid Dynamics, 3rd edn. Springer,
Berlin
2. Soni B (1998) Hybrid techniques in computational fluid dynamics. Technical Report no.
MSSU-COE-ERC-98-3, Engineering Research Center for Computational Field Simulation,
Mississippi State University
3. Frink NT, Parikh P, Pirzadeh S (1991) Aerodynamic Analysis of Complex Configurations
Using Unstructured Grids. AIAA 91-3292
4. Cabello J, Morgon K, Lohner R (1994) A Comparison of Higher Order Schemes Used in a
Finite Volume Solver For Unstructured Grids. AIAA 94-2293. Presented at the 25th AIAA
Plasmadynamics and Lasers Conference, Colorado Springs, CO
5. Musaferija I, Gosman D (1997) Finite-Volume CFD procedure and adaptive error control
strategy for grids of arbitrary topology. J Comp Phys 138:766–787
6. Barth TJ, Jespersen DC (1989) The design and application of upwind schemes on unstructured
meshes. AIAA 89-0366
7. Ollivier-Gooch C, Van Altena M (2002) A high-order-accurate unstructured mesh finite-volume
scheme for the advection–diffusion equation. J Comp Phys 181:729–752
8. OpenFOAM (2015) Version 2.3.x. http://www.openfoam.org
9. OpenFOAM Doxygen (2015) Version 2.3.x. http://www.openfoam.org/docs/cpp/