Persamaan Kontinuitas
The Equation of Continuity
Gambar 3.1-1. Elemen volume tetap Δx Δy Δz yang dilalui oleh fluida. Panah menunjukkan aliran massa masuk dan keluar dari volume pada dua sisi yang diarsir yang terletak di x dan x + Δx.
Persamaan ini dikembangkan dengan menulis keseimbangan massa pada elemen volume Δx Δy Δz, yang tetap di ruang, di mana fluida mengalir (lihat Gambar 3.1-1);
Sekarang kita harus menerjemahkan pernyataan fisika sederhana ini ke dalam bahasa matematika. Kita mulai dengan mempertimbangkan dua sisi yang diarsir, yang tegak lurus terhadap sumbu x. Laju massa yang masuk ke elemen volume melalui sisi yang diarsir pada x adalah (ρvx)∣x⋅Δy⋅Δz dan laju massa yang keluar melalui sisi yang diarsir pada x + Δx adalah (ρvx)∣x+Δx⋅Δy⋅Δz. Ekspresi serupa dapat ditulis untuk dua pasang sisi lainnya. Laju peningkatan massa di dalam elemen volume adalah Δx⋅Δy⋅Δz⋅(∂t/∂ρ). Keseimbangan massa kemudian menjadi;
Dengan membagi seluruh persamaan oleh Δx⋅Δy⋅Δz dan mengambil limit saat Δx, Δy dan Δ mendekati nol, serta kemudian menggunakan definisi dari turunan parsial, kita mendapatkan;
Ini adalah persamaan kontinuitas, yang menggambarkan laju perubahan densitas fluida seiring waktu pada suatu titik tetap di ruang. Persamaan ini dapat ditulis lebih ringkas dengan menggunakan notasi vektor sebagai berikut:
Di sini, (∇. ρv) disebut sebagai “divergensi dari ρv”, terkadang ditulis sebagai “div ρv“. Vektor ρv adalah fluks massa, dan divergensinya memiliki makna sederhana; yaitu laju bersih aliran massa per unit volume. Derivasi dalam Masalah 3D.1 menggunakan elemen volume dengan bentuk sembarang; tidak perlu menggunakan elemen volume persegi panjang seperti yang kami lakukan di sini.
Bentuk khusus yang sangat penting dari persamaan kontinuitas adalah untuk fluida dengan densitas konstan, di mana Persamaan 3.1-4 mengambil bentuk yang sangat sederhana (fluida inkompresibel):
(∇.v)=0 (3.1-5)
Tentu saja, tidak ada fluida yang benar-benar inkompresibel, tetapi sering kali dalam aplikasi teknik dan biologis, asumsi densitas konstan menghasilkan penyederhanaan yang cukup besar dan kesalahan yang sangat kecil.
Tunjukkan bahwa untuk setiap pola aliran, tegangan normal adalah nol pada batas antara fluida dan padatan, untuk fluida Newton dengan densitas konstan. Ini adalah hasil penting yang akan sering kita gunakan.
SOLUTION
Kita membayangkan aliran fluida di dekat permukaan padat, yang mungkin datar atau tidak. Aliran ini bisa sangat umum, dengan ketiga komponen kecepatan menjadi fungsi dari ketiga koordinat dan waktu. Pada suatu titik P di permukaan tersebut, kita mendirikan sistem koordinat Kartesius dengan titik asal di P. Sekarang kita bertanya, berapa tegangan normal Tzz di P.
Menurut Tabel B.1 atau Persamaan 1.2-6, Tzz = −2μ(∂vz/∂z, karena (∇⋅v) =0 untuk fluida inkompresibel. Maka di titik P pada permukaan padat;
Pertama, kita menggantikan turunan ∂dv,/dz dengan menggunakan Persamaan 3.1-3 dengan ρ konstan. Namun, pada permukaan padat di z = 0, kecepatan v adalah nol menurut kondisi no-slip (lihat §2.1), dan oleh karena itu turunan ∂vx/vx pada permukaan harus nol. Hal yang sama berlaku untuk ∂vx/∂y pada permukaan. Oleh karena itu, Txx adalah nol. Juga benar bahwa Txy dan Txz adalah nol di permukaan karena turunan-turunan tersebut menghilang di z . (Catatan: Penghilangan tegangan normal pada permukaan padat tidak berlaku untuk fluida polimer, yang bersifat viskoelastik. Untuk fluida kompresibel, tegangan normal pada permukaan padat adalah nol jika densitas tidak berubah seiring waktu, seperti yang ditunjukkan dalam Masalah (3C.2.)