PENGGUNAAN PERSAMAAN PERUBAHAN UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH ALIRAN

USE OF THE EQUATIONS OF CHANGE TO SOLVE FLOW PROBLEMS

Untuk sebagian besar aplikasi persamaan gerak, kita perlu memasukkan ekspresi untuk tensor tegangan T dari Persamaan 1.2-7 ke dalam Persamaan 3.2-9 (atau secara setara, komponen T dari Persamaan 1.2-6 atau Lampiran B.1 ke dalam Persamaan 3.2-5, 3.2-6, dan 3.2-7). Kemudian, untuk menggambarkan aliran fluida Newton pada suhu konstan, kita biasanya memerlukan:

1. Persamaan kontinuitas (Persamaan 3.1-4)
2. Persamaan gerak (Persamaan 3.2-9)
3. Komponen T (Persamaan 1.2-6)
4. Persamaan keadaan P = P(ρ)
5. Persamaan untuk viskositas μ, λ = μ(ρ)

Persamaan ini, bersama dengan syarat batas dan awal yang diperlukan, menentukan distribusi tekanan, densitas, dan kecepatan dalam fluida. Mereka jarang digunakan dalam bentuk lengkapnya untuk menyelesaikan masalah dinamika fluida. Biasanya bentuk terbatas digunakan untuk kenyamanan, seperti dalam bab ini.

Jika dianggap sesuai untuk menggunakan densitas dan viskositas konstan, maka kita menggunakan:

1. Persamaan kontinuitas (Persamaan 3.1-4 dan Tabel B.4)
2. Persamaan Navier-Stokes (Persamaan 3.5-6 dan Tabel B.5, B.6, B.7)

Bersama dengan syarat awal dan batas. Dari sini, kita dapat menentukan distribusi tekanan dan kecepatan.

Bab ini menguraikan cara menggunakan komponen tensor tegangan dan persamaan gerak dalam koordinat Cartesian untuk menyelesaikan masalah aliran laminar stabil dari fluida Newtonian.

Meski menyelesaikan masalah aliran viskos merupakan tugas kompleks, langkah awal melibatkan membuat asumsi mengenai distribusi tekanan dan kecepatan, kemudian menyederhanakan persamaan dengan mengabaikan istilah yang tidak diperlukan.

Penting untuk menggunakan intuisi dalam membuat asumsi tentang aliran, namun solusi yang dihasilkan akan terbatas oleh asumsi tersebut. Dengan mulai dari persamaan perubahan, kita dapat secara sistematis mengidentifikasi semua asumsi yang digunakan.

Karena persamaan aliran fluida bersifat nonlinier, ada kemungkinan terdapat beberapa solusi berbeda untuk suatu masalah. Memetakan rezim aliran stabil dan perilaku tidak stabil adalah bagian penting dari solusi lengkap.

Meskipun solusi analitis hanya mungkin untuk rezim aliran yang paling sederhana, informasi lebih lanjut biasanya diperoleh melalui eksperimen atau solusi numerik yang mendetail. Penyelesaian masalah aliran fluida merupakan tantangan dalam matematika terapan.

Saat menghadapi masalah yang sulit, mencari referensi dalam literatur lanjut mengenai dinamika fluida bisa membantu menemukan solusi yang lebih tepat.

Sekarang kita beralih ke contoh-contoh ilustratif. Dua contoh pertama adalah masalah yang telah dibahas dalam bab sebelumnya; kita mengulanginya untuk mengilustrasikan penggunaan persamaan perubahan. Kemudian, kita akan mempertimbangkan beberapa masalah lain yang akan sulit diselesaikan dengan metode keseimbangan cangkang seperti di Bab 2.

Ulangi masalah aliran dalam pipa dari Contoh 2.3-1 dengan menggunakan persamaan kontinuitas dan gerak. Ini mengilustrasikan penggunaan persamaan yang telah dijabarkan untuk viskositas dan densitas konstan dalam koordinat silindris panjang, yang diberikan dalam Lampiran B.

SOLUTION

Kami berhipotesis bahwa v = δzvz(r,z). Hipotesis ini menyiratkan bahwa tidak ada aliran radial (vr = 0) dan tidak ada aliran tangensial vθ = 0 serta vz tidak bergantung pada θ. Akibatnya, kita dapat membuang banyak istilah dari persamaan perubahan yang telah ditabulasi, menyisakan

Persamaan pertama menunjukkan bahwa v hanya bergantung pada r; oleh karena itu, turunan parsial dalam suku kedua di sisi kanan Persamaan 3.6-4 dapat digantikan dengan turunan biasa. Dengan menggunakan tekanan yang dimodifikasi P = p + pgh (di mana h) adalah ketinggian di atas bidang datum sembarang), kita menghindari kebutuhan untuk menghitung komponen g dalam koordinat silinder, dan kita mendapatkan solusi yang berlaku untuk orientasi sumbu tabung apa pun.

Persamaan 3.6-2 dan 3.6-3 menunjukkan bahwa P hanya bergantung pada z, dan turunan parsial pada suku pertama dari Persamaan 3.6-4 dapat digantikan dengan turunan biasa. Satu-satunya cara agar kita bisa mendapatkan fungsi dari r ditambah fungsi dari z yang sama dengan nol adalah jika masing-masing suku secara individual adalah konstanta—katakanlah, C0—sehingga Persamaan 3.6-4 dapat disederhanakan.

Persamaan P dapat diintegrasikan sekaligus. Persamaan vz dapat diintegrasikan dengan hanya “mengupas” satu operasi setelah operasi lainnya pada sisi kiri (tanpa “menyelesaikan” turunan majemuk di sana). Ini menghasilkan:

Empat konstanta integrasi dapat ditemukan dari kondisi batas.

SOLUTION

Sebagaimana dalam Contoh 2.2-2, kita mengasumsikan aliran keadaan mantap dengan kerapatan konstan, tetapi dengan viskositas yang bergantung pada x. Kita juga mengasumsikan, seperti sebelumnya, bahwa komponen kecepatan x dan y adalah nol dan vz = vz(x). Dengan asumsi ini, persamaan kontinuitas terpenuhi secara identik.

Menurut Tabel B.1, satu-satunya komponen τ yang tidak nol adalah τxz = τzx = —μ(dvz/dx). Komponen dari persamaan gerak dalam bentuk τ adalah, berdasarkan Tabel B.5,

di mana f(y, z) adalah fungsi sembarang. Persamaan 3.6-15 menunjukkan bahwa f tidak bisa bergantung pada y.

Selanjutnya, kita mengenali bahwa tekanan di fase gas hampir konstan pada tekanan atmosfer yang berlaku Ρatm. Oleh karena itu, pada antarmuka gas-cairan di x = 0, tekanannya juga konstan pada nilai Ρatm. Dengan demikian, f dapat disamakan dengan Ρatm., dan akhirnya kita memperolehyang sama dengan Persamaan 2.2-10. Sisa solusi adalah sama seperti di 2.2.

Persamaan 3.6-13 adalah sama dengan Persamaan 2.3-18. Profil tekanan dalam Persamaan 3.6-12 tidak diperoleh dalam Contoh 2.3-1, tetapi dipostulasikan secara implisit; kita bisa melakukannya di sini juga, tetapi memilih untuk bekerja dengan jumlah postulat yang minimal.
Persamaan 3.6-13 hanya berlaku dalam rejim aliran laminar, dan tidak berlaku di dekat pintu masuk dan keluar tabung. Untuk bilangan Reynolds di atas sekitar 2100, terdapat rejim aliran turbulen di hilir daerah masuk, dan Persamaan 3.6-13 tidak lagi berlaku.
Masalah dalam Contoh 2.2-2 diatur dengan menggunakan persamaan dari Lampiran B, yang menunjukkan penggunaan persamaan gerak dalam bentuk tensor tegangan .