Menyelesaikan Masalah Aliran Menggunakan Fungsi Aliran

SOLVING FLOW PROBLEMS USING A STREAM FUNCTION

Sampai saat ini, contoh dan masalah yang diberikan hanya melibatkan satu komponen kecepatan fluida. Untuk aliran dua atau tiga dimensi, menyelesaikan persamaan Navier-Stokes lebih kompleks. Prosedurnya mirip: menyelesaikan persamaan kontinuitas dan gerak bersama dengan kondisi awal dan batas untuk mendapatkan profil tekanan dan kecepatan.

Namun, dalam masalah aliran multidimensi, adanya kecepatan dan tekanan sebagai variabel bergantung dalam persamaan gerak lebih rumit dibandingkan dengan kasus sebelumnya. Oleh karena itu, sering kali lebih praktis untuk menghilangkan tekanan dengan mengambil curl dari persamaan gerak, setelah menggunakan identitas vektor [v.∇v] = ½∇(v.v) – [v × [∇×v]] yang diberikan dalam Eq. A.4-23. Untuk fluida dengan viskositas dan densitas konstan, operasi ini menghasilkan:Ini adalah persamaan perubahan untuk vortikitas [∇×v]; dua cara lain untuk menuliskannya diberikan dalam Masalah 3D.2.

Untuk masalah aliran viskos, kita dapat menyelesaikan persamaan vortikitas (persamaan vektor orde ketiga) bersama dengan persamaan kontinuitas dan kondisi awal serta batas yang relevan untuk mendapatkan distribusi kecepatan. Setelah distribusi kecepatan diketahui, distribusi tekanan dapat diperoleh dari persamaan Navier-Stokes. Metode ini terkadang berguna bahkan untuk aliran satu dimensi yang telah dibahas sebelumnya.

Untuk aliran planar atau aksisimetri, persamaan vortikitas dapat direformulasikan dengan memperkenalkan fungsi aliran Ψ. Dalam hal ini, dua komponen kecepatan yang tidak nol dinyatakan sebagai turunan dari Ψ, sehingga persamaan kontinuitas otomatis terpenuhi. Komponen dari persamaan vortikitas yang sesuai dengan arah tanpa aliran menjadi persamaan skalar orde keempat untuk Ψ. Setelah persamaan untuk skalar Ψ ditemukan, dua komponen kecepatan yang tidak nol dapat diperoleh. Masalah-masalah penting yang dapat diatasi dengan cara ini tercantum dalam Tabel 4.1-1.

Fungsi aliran Ψ juga penting karena permukaan dengan Ψ konstan menunjukkan garis aliran, yaitu jalur elemen fluida dalam aliran keadaan tunak. Laju aliran volumetrik antara permukaan Ψ = Ψ1 dan Ψ = Ψ2 sebanding dengan Ψ2 – Ψ1.

Sebagai contoh, kita akan mempertimbangkan aliran mantap dan lambat di sekitar bola diam, yang dijelaskan oleh persamaan Stokes, berlaku untuk Re << 1. Untuk aliran lambat, istilah kedua di sisi kiri persamaan diabaikan, membuat persamaan linier. Kita menggunakan metode fungsi aliran berdasarkan persamaan ini.

Example 4.2-1; Aliran Merayap di Sekitar Bola

Gunakan Tabel 4.2-1 untuk menyusun persamaan diferensial fungsi aliran untuk aliran fluida Newtonian di sekitar bola diam dengan radius R pada Re << 1. Dapatkan distribusi kecepatan dan tekanan ketika fluida mendekati bola dari arah positif sumbu z, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.6-1.

SOLUTION

Untuk aliran tetap dan merayap, seluruh sisi kiri dari Persamaan D Tabel 4.2-1 dapat diatur menjadi nol, dan persamaan ψ untuk aliran simetris sumbu menjadi:

atau, dalam koordinat sferisIni harus diselesaikan dengan kondisi batas berikut:

Kondisi batas pertama dan kedua menggambarkan kondisi tidak slip pada permukaan bola. Kondisi ketiga menunjukkan bahwa vz → v∞ jauh dari bola (hal ini dapat dilihat dengan mengenali bahwa vr = v∞ cos θ dan vθ = – v∞ sin θ jauh dari bola).

Sekarang kita mengusulkan solusi dengan bentuk berikut:

Karena ini setidaknya akan memenuhi kondisi batas ketiga pada Eq. 4.2-6. Ketika solusi ini dimasukkan ke dalam Eq. 4.2-4, kita mendapatkanFakta bahwa variabel θ tidak muncul dalam persamaan ini menunjukkan bahwa postulat pada Eq. 4.2-7 memadai. Persamaan 4.2-8 adalah persamaan orde keempat yang “setara dimensi” (lihat Eq. C.1-14). Ketika solusi percobaan dalam bentuk f(r) = Crn dimasukkan ke dalam persamaan ini, kita menemukan bahwa n dapat memiliki nilai -1, 1, 2, dan 4. Oleh karena itu, f(r) memiliki bentuk

Untuk memenuhi kondisi batas ketiga, C4 harus nol, dan C3 harus -½v∞. Dengan demikian, fungsi aliran adalah

Komponen kecepatan diperoleh dengan menggunakan Tabel 4.2-1 sebagai berikut:

Dua kondisi batas pertama sekarang memberikan C1 = -¼v∞R² dan C2 = ¾v∞R, sehingga;

Ini adalah komponen kecepatan yang diberikan dalam Persamaan 2.6-1 dan 2 tanpa bukti.

Untuk mendapatkan distribusi tekanan, kita substitusikan komponen kecepatan ini ke dalam komponen r dan θ dari persamaan Navier-Stokes (diberikan dalam Tabel B.7). Setelah beberapa manipulasi yang rumit, kita mendapatkanPersamaan-persamaan ini dapat diintegrasikan (lihat Eqs. 3.6-38 hingga 41), dan, ketika kita menggunakan kondisi batas bahwa saat r mendekati ∞, tekanan modifikasi P mendekati p0 (tekanan di bidang z = 0 jauh dari bola), kita mendapatkan;Ini sama dengan distribusi tekanan yang diberikan dalam Persamaan 2.6-4.

Pada bagian 2.6, kita menunjukkan bagaimana tekanan dan distribusi kecepatan dapat diintegrasikan di atas permukaan bola untuk mendapatkan gaya drag. Metode tersebut untuk mendapatkan gaya fluida pada benda padat bersifat umum. Di sini, kita menghitung “gaya kinetik” Fk dengan menyamakan laju kerja yang dilakukan pada bola (gaya dikalikan dengan kecepatan) dengan laju disipasi viskositas dalam fluida, sehingga;Penyisipan fungsi (–τ:∇v) dalam koordinat bola dari Tabel B.7 memberikanKemudian profil kecepatan dari Persamaan 4.2-13 dan 14 dimasukkan ke dalam Persamaan 4.2-19. Setelah diferensiasi dan integrasi yang ditunjukkan (yang cukup panjang!) dilakukan, akhirnya diperoleh hukum Stokes.Seperti yang dijelaskan dalam §2.6, hukum Stokes terbatas pada Re < 0,1. Ekspresi untuk gaya hambat dapat diperbaiki dengan kembali dan memasukkan suku [v:∇v] Kemudian penggunaan metode ekspansi asimtotik yang cocok menghasilkan hasil berikut.Di mana y = 0.5772 adalah konstanta Euler. Ekspresi ini berlaku untuk nilai Re hingga sekitar 1.