FAKTOR GESAKAN UNTUK ALIRAN SEKITAR BOLA
FRICTION FACTORS FOR FLOW AROUND SPHERES
Pada bagian ini, kita menggunakan definisi faktor gesekan dalam Persamaan 6.1-5 bersama dengan analisis dimensional dari 3.7 untuk menentukan perilaku f untuk sebuah bola yang diam dalam aliran fluida tak terbatas yang mendekat dengan kecepatan uniform dan stabil v∞. Kita telah mempelajari aliran di sekitar bola dalam 2.6 dan 4.2 untuk Re < 0.1 (daerah “aliran merayap”). Pada angka Reynolds di atas sekitar 1, terdapat gerakan eddy yang tidak stabil secara signifikan di belakang bola. Oleh karena itu, perlu dilakukan rata-rata waktu selama interval waktu yang cukup lama dibandingkan dengan gerakan eddy ini.
Ingat dari 2.6 bahwa gaya total yang bertindak dalam arah z pada bola dapat ditulis sebagai jumlah kontribusi dari tegangan normal (F_n) dan tegangan tangensial (F_t). Salah satu bagian dari kontribusi tegangan normal adalah gaya yang akan ada bahkan jika fluida tidak bergerak, F_s. Dengan demikian, “gaya kinetik,” yang terkait dengan gerakan fluida, adalah
Gaya yang terkait dengan drag bentuk dan drag gesekan kemudian diperoleh dari
Karena v adalah nol di seluruh permukaan bola, istilah yang mengandung ∂v/∂θ menjadi nol. Jika sekarang kita membagi f menjadi dua bagian sebagai berikut:
maka, dari definisi dalam Persamaan 6.1-5, kita mendapatkan
Faktor gesekan diungkapkan di sini dalam bentuk variabel tanpa dimensi.
dan angka Reynolds yang didefinisikan sebagai
Untuk mengevaluasi f(t), seseorang harus mengetahui P dan vθ sebagai fungsi dari r, θ, φ, dan t.
Kita tahu bahwa untuk aliran tak kompresibel, distribusi ini pada prinsipnya dapat diperoleh dari solusi Persamaan 3.7-8 dan 9 bersama dengan kondisi batas.
dan beberapa kondisi awal yang sesuai pada v. Karena tidak ada kelompok tanpa dimensi tambahan yang muncul melalui kondisi batas dan awal, kita tahu bahwa profil tekanan dan kecepatan tanpa dimensi akan memiliki bentuk berikut:
Ketika ekspresi ini dimasukkan ke dalam Persamaan 6.3-5 dan 6, jelas bahwa faktor gesekan dalam Persamaan 6.3-4 harus memiliki bentuk f(t) = f(Re,t), yang, ketika dirata-rata waktu atas fluktuasi turbulen, disederhanakan menjadi
dengan menggunakan argumen yang mirip dengan yang ada di 6.2. Oleh karena itu, dari definisi faktor gesekan dan bentuk tanpa dimensi dari persamaan perubahan serta kondisi batas, kita menemukan bahwa f harus menjadi fungsi dari angka Re saja.
Banyak pengukuran eksperimental mengenai gaya drag pada bola tersedia, dan ketika ini dipetakan dalam bentuk tanpa dimensi, hasilnya adalah Gambar 6.3-1. Untuk sistem ini, tidak ada transisi tajam dari kurva aliran laminar yang tidak stabil ke kurva aliran turbulen yang stabil seperti pada tabung panjang pada angka Reynolds sekitar 2100 (lihat Gambar 6.2-2). Sebaliknya, seiring dengan meningkatnya kecepatan pendekatan, f bervariasi secara halus dan moderat hingga angka Reynolds sekitar 10^5. Kerutan pada kurva sekitar Re = 2 X 10^5 terkait dengan pergeseran zona pemisahan lapisan batas dari di depan ekuator ke di belakang ekuator bola.
Kami telah membandingkan pembahasan aliran dalam tabung dan aliran di sekitar bola untuk menekankan fakta bahwa berbagai sistem aliran berperilaku sangat berbeda. Beberapa poin perbedaan antara kedua sistem tersebut adalah:
Aliran dalam Tabung:
- Transisi laminar-turbulen yang cukup jelas pada angka Reynolds sekitar 2100.
- Satu-satunya kontribusi terhadap f adalah gesekan drag (jika tabung halus).
- Tidak ada pemisahan lapisan batas.
Aliran di Sekitar Bola:
- Tidak ada transisi laminar-turbulen yang jelas.
- Kontribusi terhadap f berasal dari gesekan drag dan drag bentuk.
- Terdapat kerutan pada kurva f vs. Re yang terkait dengan pergeseran zona pemisahan.
Bentuk umum dari kurva pada Gambar 6.2-2 dan 6.3-1 harus diingat dengan seksama.
Untuk wilayah aliran merayap, kita sudah mengetahui bahwa gaya drag diberikan oleh hukum Stokes, yang merupakan konsekuensi dari menyelesaikan persamaan kontinuitas dan persamaan gerak Navier-Stokes tanpa istilah ρDv/Dt. Hukum Stokes dapat diatur ulang dalam bentuk Persamaan 6.1-5 untuk mendapatkan:
Oleh karena itu, untuk aliran merayap di sekitar bola,
dan ini adalah asimtot garis lurus saat Re→ 0 pada kurva faktor gesekan di Gambar 6.3-1. Untuk nilai angka Reynolds yang lebih tinggi, Persamaan 4.2-21 dapat menggambarkan f dengan akurat hingga sekitar Re = 1. Namun, ekspresi empiris
Gambar 6.3-1. Faktor gesekan (atau koefisien drag) untuk bola yang bergerak relatif terhadap fluida dengan kecepatan v∞. Definisi f diberikan dalam Persamaan 6.1-5. [Kurva diambil dari C. E. Lapple, “Dust and Mist Collection,” dalam Chemical Engineers’ Handbook, (J. H. Perry, ed.), McGraw-Hill, New York, edisi ke-3 (1950), hlm. 1018.]
adalah sederhana dan berguna. Penting untuk diingat bahwa
yang mencakup rentang angka Reynolds yang luar biasa. Persamaan 6.3-17 kadang-kadang disebut hukum resistansi Newton; ini berguna untuk perhitungan cepat. Menurut hukum ini, gaya drag sebanding dengan kuadrat kecepatan pendekatan fluida.
Banyak ekstensi dari Gambar 6.3-1 telah dilakukan, tetapi studi sistematik di luar ruang lingkup teks ini. Beberapa efek yang telah diteliti meliputi efek dinding (lihat Prob. 6C.2), jatuhnya tetesan dengan sirkulasi internal, pengendalian terhambat (yaitu, jatuhnya kelompok partikel yang saling mengganggu), aliran tak stabil, dan jatuhnya partikel non-sferis.
Example 6.3-1: Penentuan Diameter Bola yang Jatuh
Bola kaca dengan densitas ρsph = 2.62 g/cm³ akan dijatuhkan melalui cairan CCl4 pada suhu 20°C dalam eksperimen untuk mempelajari waktu reaksi manusia dalam melakukan pengamatan waktu dengan stopwatch dan perangkat yang lebih canggih. Pada suhu ini, sifat-sifat CCl4 adalah ρ = 1.59 g/cm³ dan μ = 9.58 millipoise. Diameter berapa yang seharusnya dimiliki bola agar memiliki kecepatan terminal sekitar 65 cm/s?
SOLUTION
Untuk menemukan diameter bola, kita harus menyelesaikan Persamaan 6.1-7 untuk D. Namun, dalam persamaan ini, kita harus mengetahui D untuk mendapatkan f ; dan f diberikan oleh kurva solid dalam Gambar 6.3-1. Prosedur coba-coba dapat digunakan, dengan asumsi awal f = 0.44.
Sebagai alternatif, kita dapat menyelesaikan Persamaan 6.1-7 untuk f dan kemudian mencatat bahwa f/Re adalah kuantitas yang tidak bergantung pada D.
Kuantitas di sisi kanan dapat dihitung dengan informasi di atas, dan kita sebut itu C. Oleh karena itu, kita memiliki dua persamaan simultan untuk diselesaikan:
Persamaan 6.3-19 adalah garis lurus dengan kemiringan satu pada plot log-log f versus Re. Untuk masalah ini, kita memiliki:
Oleh karena itu, pada Re = 10^5, menurut Persamaan 6.3-19, f = 1.86. Garis dengan kemiringan 1 yang melewati f = 1.86 pada Re = 10^5 ditunjukkan dalam Gambar 6.3-2. Garis ini memotong kurva dari Persamaan 6.3-20 (yaitu, kurva dalam Gambar 6.3-1) pada R = Dv∞ρ/μ = 2.4 X 10^4. Diameter bola kemudian ditemukan menjadi