KONDUKSI PANAS DENGAN SUMBER PANAS VISKOS

HEAT CONDUCTION WITH A VISCOUS HEAT SOURCE

Selanjutnya, kita mempertimbangkan aliran fluida Newtonian yang tidak terkompresi antara dua silinder koaksial seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10.4-1. Permukaan silinder dalam dan luar dipertahankan pada suhu , masing-masing. Kita dapat mengharapkan bahwa T akan menjadi fungsi dari r saja.

Gambar 10.4-1. Aliran antara silinder dengan generasi panas viskos. Bagian sistem yang terletak di dalam garis putus-putus ditampilkan dalam bentuk modifikasi pada Gambar 10.4-2.

Gambar 10.4-2. Modifikasi dari sebagian sistem aliran dalam Gambar 10.4-1, di mana kelengkungan permukaan batas diabaikan.

Saat silinder luar berputar, setiap lapisan silinder fluida “menggesek” lapisan fluida yang berdekatan. Gesekan antara lapisan-lapisan ini menghasilkan panas; dengan kata lain, energi mekanis berubah menjadi energi termal. Sumber panas volumetrik yang dihasilkan dari “disipasi viskos” ini, yang dapat ditandai dengan S, muncul secara otomatis dalam keseimbangan lapisan saat kita menggunakan vektor aliran energi gabungan yang didefinisikan di akhir Bab 9.

Jika lebar celah b kecil dibandingkan dengan jari-jari R dari silinder luar, maka masalah ini dapat diselesaikan secara aproximasi dengan menggunakan sistem yang agak disederhanakan seperti yang digambarkan dalam Gambar 10.4-2. Artinya, kita mengabaikan efek kelengkungan dan menyelesaikan masalah ini dalam koordinat Kartesius. Distribusi kecepatan kemudian adalah

Kita sekarang melakukan neraca energi pada sebuah shell dengan ketebalan Δx, lebar W, dan panjang L. Karena fluida bergerak, kita menggunakan vektor fluks energi gabungan e seperti yang tertulis dalam Persamaan 9.8-6. Neraca tersebut kemudian dibaca sebagai:

Membagi dengan WL Δx dan membiarkan ketebalan shell Δx mendekati nol akan memberikan:

Persamaan ini dapat diintegrasikan untuk memberikan:

Karena kita tidak mengetahui kondisi batas untuk ex, kita tidak dapat mengevaluasi konstanta integrasi pada titik ini. Selanjutnya, kita masukkan ekspresi untuk e dari Persamaan 9.8-6. Karena komponen kecepatan dalam arah x adalah nol, istilah dapat diabaikan. Komponen x dari q adalah -k(dT/dx) menurut hukum Fourier. Komponen x dari [τ . v] adalah, seperti yang ditunjukkan dalam Persamaan 9.8-1, Karena satu-satunya komponen kecepatan yang tidak nol adalah vy dan menurut hukum viskositas Newton, maka komponen x dari [τ . v] adalah Dengan demikian, kita menyimpulkan bahwa Persamaan 10.4-3 menjadi:

Ketika profil kecepatan linier dimasukkan, kita mendapatkan:

Di mana dapat diidentifikasi sebagai laju produksi panas viskos per unit volume S.

Ketika Persamaan 10.4-5 diintegrasikan, kita mendapatkan:

Dua konstanta integrasi ditentukan dari kondisi batas.

Ini akhirnya menghasilkan, untuk T_b ≠ T_0:

Di sini, adalah bilangan Brinkman tak berdimensi, yang mengukur pentingnya istilah disipasi viskos. Jika T_b = T_0, maka Persamaan 10.4-9 dapat ditulis sebagai:

Dan suhu maksimum berada pada x/b = ½.

Jika kenaikan suhu signifikan, ketergantungan suhu terhadap viskositas harus diperhitungkan, seperti dibahas dalam Masalah 10C.1. Istilah pemanasan viskos dapat dipahami melalui argumen berikut. Untuk sistem dalam Gambar 10.4-2, laju kerja yang dilakukan adalah gaya yang bekerja pada pelat atas dikali dengan kecepatan geraknya, atau Laju penambahan energi per unit volume kemudian diperoleh dengan membagi kuantitas ini dengan WLb, yang memberikan Energi ini muncul sepenuhnya sebagai panas dan oleh karena itu merupakan S.

Dalam sebagian besar masalah aliran, pemanasan viskos tidak penting. Namun, jika terdapat gradien kecepatan besar, maka tidak dapat diabaikan. Contoh situasi di mana pemanasan viskos harus diperhitungkan meliputi: (i) aliran pelumas antara bagian yang bergerak cepat, (ii) aliran polimer leleh melalui cetakan dalam ekstrusi berkecepatan tinggi, (iii) aliran fluida viskos tinggi dalam viskometer berkecepatan tinggi, dan (iv) aliran udara di lapisan batas dekat satelit bumi atau roket saat masuk kembali ke atmosfer bumi. Dua contoh pertama ini lebih rumit karena banyak pelumas dan plastik leleh adalah fluida non-Newtonian. Pemanasan viskos untuk fluida non-Newtonian dijelaskan dalam Masalah 10B.5.