infistream

Menu

Konveksi Paksa

FORCED CONVECTION

Pada bagian sebelumnya, penekanan diberikan pada konduksi panas dalam padatan. Di bagian ini dan bagian berikutnya, kita mempelajari dua jenis transportasi panas yang terbatas dalam fluida: konveksi paksa dan konveksi bebas (juga disebut konveksi alami). Perbedaan utama antara kedua mode konveksi ini ditunjukkan pada Gambar 10.8-1. Sebagian besar masalah perpindahan panas industri biasanya dikategorikan ke dalam salah satu dari kedua kategori ini. Namun, dalam beberapa masalah, kedua efek harus diperhitungkan, dan kemudian kita menyebutnya konveksi campuran (lihat 514.6 untuk beberapa empirisme dalam menangani situasi ini).

Di bagian ini, kita mempertimbangkan konveksi paksa dalam tabung melingkar, yang merupakan kasus batas yang cukup sederhana untuk diselesaikan secara analitis. Fluida kental dengan sifat fisik (ρ, k, μ, Cp) yang dianggap konstan mengalir laminar dalam tabung melingkar dengan jari-jari R. Untuk z < 0, suhu fluida uniform pada suhu masuk T₁. Untuk z > 0, terdapat fluks panas radial konstan q₁ = -q₀ di dinding. Situasi ini ada, misalnya, ketika pipa dililit secara merata dengan kumparan pemanas listrik, di mana q₀ positif. Jika pipa didinginkan, maka q₀ harus dianggap negatif.

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10.8-1, langkah pertama dalam menyelesaikan masalah perpindahan panas konveksi paksa adalah perhitungan profil kecepatan dalam sistem. Kita telah melihat di 52.3


Panas yang dibawa ke kanan oleh aliran paksa udara:

  1. Pola aliran ditentukan terutama oleh beberapa gaya eksternal.
  2. Pertama, profil kecepatan ditemukan; kemudian digunakan untuk menemukan profil suhu (prosedur umum untuk fluida dengan sifat fisik konstan).
  3.  Bilangan Nusselt bergantung pada bilangan Reynolds dan Prandtl (lihat Bab 14).
Panas yang diangkut ke atas oleh udara yang dipanaskan:
 
  1. Pola aliran ditentukan oleh gaya apung pada fluida yang dipanaskan.
  2. Profil kecepatan dan profil suhu saling bergantung.
  3. Bilangan Nusselt bergantung pada bilangan Grashof dan Prandtl (lihat Bab 14).
Gambar 10.8-1. Perbandingan antara konveksi paksa dan konveksi bebas dalam sistem non-isotermal.

bagaimana ini dapat dilakukan untuk aliran tabung dengan menggunakan metode keseimbangan shell. Kita tahu bahwa distribusi kecepatan yang diperoleh adalah v₁ = 0, v₂ = 0, danDistribusi parabola ini valid cukup jauh dari saluran masuk sehingga panjang masuk telah terlampaui. Dalam masalah ini, panas sedang diangkut dalam arah r dan z. Oleh karena itu, untuk keseimbangan energi, kita menggunakan sistem berbentuk “washer”, yang dibentuk oleh perpotongan daerah annular dengan ketebalan Δr dan pelat dengan ketebalan Δz (lihat Gambar 10.8-2). Dalam masalah ini, kita berurusan dengan fluida yang mengalir, sehingga semua istilah dalam vektor e akan dipertahankan. Berbagai kontribusi untuk Persamaan 10.1-1 adalahKontribusi terakhir adalah laju kerja yang dilakukan pada fluida dalam cincin oleh gravitasi—yaitu, gaya per unit volume ρg, dikali volume 2πr Δr Δz yang dikalikan dengan kecepatan ke bawah fluida.

Gambar 10.8-2. Pemanasan fluida dalam aliran laminar melalui tabung melingkar, menunjukkan cincin annular di mana keseimbangan energi dilakukan.

Keseimbangan energi diperoleh dengan menjumlahkan kontribusi ini dan menyamakan jumlahnya dengan nol. Kemudian, kita bagi dengan 2πr Δr Δz untuk mendapatkanDalam limit saat Δr dan Δz mendekati nol, kita menemukanIndeks z pada g telah dihilangkan, karena vektor gravitasi bertindak dalam arah +z.

Selanjutnya, kita menggunakan Persamaan 9.8-6 dan 9.8-8 untuk menuliskan ekspresi untuk komponen r dan z dari vektor fluks energi gabungan, dengan menggunakan fakta bahwa satu-satunya komponen yang tidak nol dari v adalah komponen aksial v₁.Dengan menggantikan ekspresi fluks ini ke dalam Persamaan 10.8-8 dan menggunakan fakta bahwa v hanya bergantung pada r, kita mendapatkan, setelah beberapa pengaturan ulang,Kumpulan kedua tepat nol, seperti yang dapat dilihat dari Persamaan 3.6-4, yang merupakan istilah komponen z yang mengandung viskositas sebagai pemanasan viskos, yang akan kita abaikan dalam pembahasan ini. Istilah terakhir dalam kumpulan pertama, yang berkaitan dengan konduksi panas dalam arah aksial, juga akan diabaikan, karena kita tahu dari pengalaman bahwa biasanya kecil dibandingkan dengan konveksi panas dalam arah aksial. Oleh karena itu, persamaan yang ingin kita selesaikan di sini adalahPersamaan diferensial parsial ini, ketika diselesaikan, menggambarkan suhu dalam fluida sebagai fungsi dari r dan z. Kondisi batasnya adalahKita sekarang menempatkan pernyataan masalah ke dalam bentuk tak berdimensi. Pemilihan kuantitas tak berdimensi adalah sewenang-wenang. Kita pilihUmumnya, seseorang berusaha memilih kuantitas tak berdimensi untuk meminimalkan jumlah parameter dalam formulasi masalah akhir. Dalam masalah ini, pemilihan ξ = r/R adalah pilihan yang wajar, karena munculnya r/R dalam persamaan diferensial. Pemilihan untuk suhu tak berdimensi disarankan oleh kondisi batas kedua dan ketiga. Setelah menetapkan dua variabel tak berdimensi ini, pemilihan koordinat aksial tak berdimensi mengikuti secara alami.

Pernyataan masalah yang dihasilkan, dalam bentuk tak berdimensi, sekarang adalahdengan kondisi batasPersamaan diferensial parsial dalam Persamaan 10.8-19 telah diselesaikan untuk kondisi batas ini, tetapi di bagian ini kita tidak memberikan solusi lengkap. 

Namun, penting untuk mendapatkan solusi asimptotik untuk Persamaan 10.8-19 pada nilai ξ yang besar. Setelah fluida cukup jauh dari awal bagian yang dipanaskan, diharapkan bahwa fluks panas konstan melalui dinding akan mengakibatkan kenaikan suhu fluida yang linier terhadap ξ. Selanjutnya, diharapkan bahwa bentuk profil suhu sebagai fungsi dari ξ pada akhirnya tidak akan mengalami perubahan lebih lanjut seiring meningkatnya nilai tersebut (lihat Gambar 10.8-3). Oleh karena itu, solusi dalam bentuk berikut tampaknya masuk akal untuk ξ yang besar:di mana C adalah konstanta yang akan ditentukan saat ini.Gambar 10.8-3. Sketsa yang menunjukkan bagaimana diharapkan suhu T(r, z) terlihat untuk sistem yang ditunjukkan dalam Gambar 10.8-2 ketika fluida dipanaskan dengan kumparan pemanas yang dililit secara merata di sekitar tabung (yang sesuai dengan q₀ positif).

Fungsi dalam Persamaan 10.8-23 jelas bukan solusi lengkap untuk masalah ini; fungsi tersebut memungkinkan persamaan diferensial parsial dan kondisi batas 1 dan 2 terpenuhi, tetapi jelas tidak memenuhi kondisi batas 3. Oleh karena itu, kita mengganti yang terakhir dengan kondisi integral (lihat Gambar 10.8-4).

Kondisi 4: atau, dalam bentuk tak berdimensi,Kondisi ini menyatakan bahwa energi yang masuk melalui dinding sepanjang jarak ξ sama dengan selisih antara energi yang keluar melalui penampang di ξ dan energi yang masuk pada ξ = 0.

Penggantian fungsi yang diusulkan dari Persamaan 10.8-23 ke dalam Persamaan 10.8-19 menghasilkan persamaan diferensial biasa berikut (lihat Persamaan C.1-11):Persamaan ini dapat diintegrasikan dua kali terhadap ξ dan hasilnya dimasukkan ke dalam Persamaan 10.8-23 untuk memberikanTiga konstanta ditentukan dari kondisi 1, 2, dan 4 di atas:Penggantian nilai-nilai ini ke dalam Persamaan 10.8-27 akhirnya memberikanHasil ini memberikan suhu tak berdimensi sebagai fungsi dari koordinat radial dan aksial tak berdimensi. Ini tepat dalam limit saat ξ → ∞; untuk ξ > 0.1, memprediksi nilai lokal θ dengan ketepatan sekitar 2%.

Setelah distribusi suhu diketahui, berbagai kuantitas turunan dapat diperoleh. Terdapat dua jenis suhu rata-rata yang umum digunakan dalam kaitannya dengan aliran fluida dengan ρ dan Cₚ yang konstan:Kedua rata-rata tersebut adalah fungsi dari z. Kuantitas (T) adalah rata-rata aritmetika suhu di seluruh penampang pada z. Suhu “bulk” Tₐ adalah suhu yang akan diperoleh jika tabung dipotong di z dan fluida yang keluar dikumpulkan dalam wadah dan dicampur secara menyeluruh. Suhu rata-rata ini terkadang disebut sebagai “suhu campuran cangkir” atau “suhu rata-rata aliran.”

Sekarang mari kita evaluasi gaya pendorong transfer panas lokal, T₀ – Tₐ, yang merupakan selisih antara suhu dinding dan suhu bulk pada jarak z di sepanjang tabung:di mana D adalah diameter tabung. Kita sekarang dapat mengatur ulang hasil ini dalam bentuk fluks panas dinding tak berdimensi:yang, dalam Bab 14, akan diidentifikasi sebagai bilangan Nusselt. Sebelum meninggalkan bagian ini, kami menunjukkan bahwa koordinat aksial tak berdimensi l yang diperkenalkan di atas dapat ditulis ulang dengan cara berikut:Di sini, D adalah diameter tabung, Re adalah bilangan Reynolds yang digunakan di Bagian I, dan Pr serta Pe adalah bilangan Prandtl dan Peclét yang diperkenalkan di Bab 9. Kita akan menemukan di Bab 11 bahwa bilangan Reynolds dan Prandtl dapat diharapkan muncul dalam masalah konveksi paksa. Poin ini akan diperkuat di Bab 14 terkait dengan korelasi untuk koefisien perpindahan panas.