ANALISIS FOURIER DARI TRANSPORTASI ENERGI DALAM ALIRAN TUBE PADA ANGKA PRANDTL YANG BESAR

FOURIER ANALYSIS OF ENERGY TRANSPORT IN TUBE FLOW AT LARGE PRANDTL NUMBERS

Dalam dua bagian sebelumnya, kami menganalisis transportasi energi dalam sistem turbulen dengan menggunakan persamaan perubahan yang halus dalam waktu. Ekspresi empiris kemudian diperlukan untuk menggambarkan fluks turbulen dalam istilah profil yang halus dalam waktu, menggunakan koefisien transportasi eddy yang diperkirakan dari eksperimen. Dalam bagian ini, kami menganalisis masalah transportasi energi turbulen tanpa penghalusan waktu—yaitu, dengan menggunakan langsung persamaan energi dengan medan kecepatan dan suhu yang berfluktuasi. Transformasi Fourier sangat cocok untuk masalah semacam itu, dan “metode keseimbangan dominan” memberikan informasi berguna tanpa perhitungan yang mendetail.

Pertanyaan spesifik yang dibahas di sini adalah pengaruh difusivitas termal, α = k/ρC, terhadap distribusi dan fluktuasi suhu fluida dalam konveksi paksa turbulen dekat dinding. Topik ini telah dibahas dalam Contoh 13.3-1 dengan prosedur perkiraan. Mari kita pertimbangkan fluida dengan ρ, C, dan k konstan dalam aliran turbulen melalui pipa dengan jari-jari dalam R = D/2. Aliran masuk pada z = -∞ dengan suhu uniform T₁ dan keluar pada z = L. Dinding pipa bersifat adiabatik untuk z < 0 dan isotermal pada T₀ untuk 0 ≤ z ≤ L. Konduksi panas dalam arah z diabaikan. Distribusi suhu T(r, θ, z, t) akan dianalisis dalam batas waktu yang lama, dalam lapisan batas termal tipis yang terbentuk untuk z > 0 ketika difusivitas termal molekuler α kecil (seperti pada fluida Newtonian ketika angka Prandtl, Pr = ρC/ k = μ/ρ, besar). Fungsi peregangan Ψ(α) akan diturunkan untuk ketebalan rata-rata lapisan batas termal tanpa memperkenalkan difusivitas termal eddy ν’.

Dalam batas saat α → 0, lapisan batas termal sepenuhnya berada dalam lapisan sub-viskos, di mana komponen kecepatan diberikan oleh ekspansi Taylor yang dipotong dalam jarak y = R – r dari dinding (bandingkan ekspansi ini dengan yang ada di Persamaan 5.4-8 hingga 10).

Di sini koefisien ρ dan C diperlakukan sebagai fungsi yang diberikan dari θ, z, dan t. Ekspresi kecepatan ini memenuhi kondisi tidak ada gesekan dan kondisi ketidaktembusan dinding pada y = 0 serta persamaan kontinuitas pada y yang kecil, dan konsisten dengan persamaan gerak hingga urutan yang ditunjukkan dalam y. Persamaan energi kemudian dapat dituliskan sebagai

dengan pendekatan lapisan batas biasa untuk VZT, dan dengan kondisi batas berikut pada T(y, θ, z, t):

Distribusi suhu awal T(y, θ, z, 0) tidak diperlukan, karena efeknya menghilang dalam batas waktu yang lama.

Untuk memperoleh hasil yang valid secara asimtotik untuk a → 0, kita memperkenalkan koordinat terentang Y = y/√(a), yang merupakan jarak dari dinding relatif terhadap ketebalan lapisan batas rata-rata √(a). Rentang Y adalah dari 0 pada y = 0 hingga w pada y = R dalam batasan saat a → 0.

Penggunaan KY sebagai pengganti y, dan pengenalan fungsi suhu tak berdimensi Θ(Y, θ, z, t) = (T – T₁)/(T₀ – T₁), memungkinkan kita menulis ulang Persamaan 13.6-4 sebagai berikut:

dengan kondisi batas sebagai berikut:

Persamaan 13.6-7 mengandung turunan tak terbatas dθ/dt dengan koefisien 1 yang tidak bergantung pada α. Oleh karena itu, diperlukan perubahan variabel untuk menganalisis pengaruh parameter α dalam masalah ini. Untuk tujuan ini, kita beralih ke transformasi Fourier, alat standar untuk menganalisis proses yang berisik.

Kita memilih definisi berikut untuk transformasi Fourier dari fungsi g(t) ke dalam domain frekuensi v pada posisi tertentu Y, θ, z:

Transformasi yang sesuai untuk turunan terhadap t dan untuk perkalian fungsi-fungsi dari t adalah:

Dan integral yang terakhir ini dikenal sebagai konvolusi dari transformasi g dan h.

Sebelum mengambil transformasi Fourier dari Persamaan 13.6-7 hingga 13.6-9, kita mengekspresikan setiap fungsi g(t) sebagai rata-rata waktu g̅ ditambah fungsi fluktuasi gʹ(t) dan mengembangkan setiap hasil perkalian dari fungsi-fungsi tersebut. Ekspresi yang dihasilkan memiliki transformasi Fourier sebagai berikut:

Di sini, δ(v) adalah fungsi delta Dirac, yang diperoleh sebagai transformasi Fourier dari fungsi g(t) = 1dalam batas durasi waktu yang lama. Istilah utama di baris terakhir adalah impuls bernilai nyata pada v = 0, yang berasal dari hasil kali yang tidak bergantung waktu g̅. Dua istilah berikutnya adalah fungsi bernilai kompleks dari frekuensi v. Istilah konvolusi g’ h’ mungkin mengandung fungsi bernilai kompleks dari v, bersama dengan impuls bernilai nyata δ(v)g̅’h̅’ yang berasal dari hasil kali yang tidak bergantung waktu dari osilasi harmonik sederhana yang ada dalam g’ dan h’.

Mengambil transformasi Fourier dari Persamaan 13.6-7 dengan metode yang baru saja dijelaskan dan mencatat bahwa identik dengan nol, kita memperoleh persamaan diferensial.

untuk suhu yang ditransformasi Fourier θ(Y, 0, z, v). Kondisi batas yang ditransformasi adalah

Di sini, fungsi impuls satuan δ(v) muncul lagi sebagai transformasi Fourier dari fungsi g(t) = 1 dalam batas waktu lama. Dua jenis kontribusi muncul dalam Persamaan 13.6-15: impuls nol frekuensi yang bernilai riil δ(v) dari fungsi dan produk yang tidak tergantung pada t, serta fungsi bernilai kompleks dari v dari istilah produk yang bergantung pada waktu. Kita mempertimbangkan kedua jenis kontribusi ini secara terpisah di sini, sehingga memisahkan Persamaan 13.6-15 menjadi dua persamaan.

Kita mulai dengan istilah impuls nol frekuensi. Selain istilah eksplisit δ(v) dari Persamaan 13.6-15, impuls implisit muncul dalam istilah konvolusi dari osilasi sinkron A dari kecepatan dan suhu, yang memberikan energi turbulen q = yang dibahas dalam s13.2. Koefisien dari semua istilah impuls harus proporsional dengan fungsi a, agar istilah dominan di setiap titik tetap seimbang (yaitu, memiliki ukuran yang sebanding) saat a mendekati nol. Oleh karena itu, koefisien K dari istilah impuls konvektif, termasuk yang berasal dari fluktuasi sinkron, harus proporsional dengan koefisien a/K² dari istilah impuls konduktif, sehingga memberikan K ∝ a1/3.

untuk ketergantungan ketebalan rata-rata lapisan batas termal pada angka Prandtl

koefisien dari semua istilah ini (termasuk 271-i~ dalam istilah terdepan) harus merupakan fungsi proporsional dari a agar istilah-istilah ini tetap seimbang saat a mendekati 0. Penalaran ini mengonfirmasi Eq. 13.6-18 dan memberikan hubungan lebih lanjut bahwa v ∞K, atau

untuk bandwidth frekuensi v dari fluktuasi temperatur. Oleh karena itu, frekuensi terentang Pr(1/3)v dan waktu terentang Pr-(1/3)t adalah variabel alami untuk melaporkan analisis Fourier dari konveksi paksa turbulen. Shaw dan Hanratty melaporkan spektrum turbulensi untuk eksperimen transfer massa mereka secara analog, dalam istilah variabel frekuensi terentang yang sebanding dengan adalah angka Schmidt, analog transfer massa dari angka Prandtl, yang mengandung difusivitas biner 9AR, akan diperkenalkan dalam Bab 16).

Sejauh ini, kita telah mempertimbangkan hanya istilah terdepan dari ekspansi Taylor dalam K untuk setiap istilah dalam persamaan energi. Hasil yang lebih akurat dapat diperoleh dengan melanjutkan ekspansi Taylor ke pangkat yang lebih tinggi dari K, dan dengan demikian dari Pr(-1/3). Solusi formal yang dihasilkan adalah ekspansi perturbasi.

untuk distribusi fluktuasi temperatur terhadap posisi dan frekuensi dalam medan kecepatan yang diberikan.

Ekspansi untuk T (rata-rata waktu lama dari temperatur) yang sesuai dengan Persamaan 13.6-20 diperoleh dari bagian nol frekuensi dari 6,

Dari sini kita dapat menghitung aliran panas rata-rata waktu lokal di dinding:

dan angka Nusselt lokal kemudian adalah:

Kemudian, angka Nusselt rata-rata di seluruh permukaan dinding untuk perpindahan panas, dan kuantitas analog untuk perpindahan massa, adalah:

Dalam persamaan terakhir ini, Sh, O, dan Sc adalah analog perpindahan massa dari Nu, O, dan Pr. Kami memberikan ekspresi perpindahan massa di sini (daripada menunggu hingga Bagian III) karena eksperimen perpindahan massa elektrokimia memberikan presisi yang lebih baik daripada eksperimen perpindahan panas, dan rentang Schmidt yang tersedia jauh lebih besar dibandingkan dengan rentang Prandtl.

Jika perluasan dalam Persamaan 13.6-24 dan 25 dipotong menjadi satu suku, kita diperoleh Ekspresi ini adalah bahan penting dalam hubungan terkenal Chilton-Colburn (lihat Persamaan 14.3-18 dan 19, serta Persamaan 22.3-22 hingga 24). Suku pertama dalam Persamaan 13.6-24 atau 25 juga sesuai dengan asimtot tinggi Prandtl (atau Schmidt) dari Persamaan 13.4-20.

Dengan perkembangan metode elektrokimia untuk mengukur perpindahan massa di permukaan, kini memungkinkan untuk menyelidiki suku kedua dalam Persamaan 13.6-25. Dalam Gambar 13.6-1 ditampilkan data dari Shaw dan Hanratty, yang mengukur arus terbatas difusi ke elektroda dinding untuk nilai Schmidt number dari 693 hingga 37,200. Data ini sangat cocok dengan ekspresi yang diberikan.

Gambar 13.6-1 menunjukkan data perpindahan massa turbulen dari D. A. Shaw dan T. J. Hanratty [AlChE Journal, 28, 23-37, 160-169 (1977)] yang dibandingkan dengan kurva berdasarkan Persamaan 13.6-25 (kurva solid). Juga ditampilkan adalah fungsi hukum daya sederhana yang diperoleh oleh Shaw dan Hanratty.

di mana f(Re) adalah faktor gesekan yang didefinisikan dalam Bab 6. Persamaan 13.6-26 menggabungkan ketergantungan angka Re yang diamati dari angka Sherwood dengan dua suku terdepan dari Persamaan 13.6-25 (yaitu, koefisien a₁, a₂, … proporsional terhadap Persamaan 13.6-26 dapat diinterpretasikan secara fisik dengan jelas: Suku terdepan berkorespondensi dengan lapisan batas difusi yang sangat tipis di mana kecepatan tangensial bersifat linier terhadap y dan kelengkungan dinding dapat diabaikan, sedangkan suku kedua memperhitungkan kelengkungan dinding dan suku y² dalam perluasan kecepatan tangensial dari Eqs. 13.6-1 dan 2. Dalam pendekatan yang lebih tinggi, istilah khusus dapat muncul dari efek tepi seperti yang dicatat oleh Newman dan Stewart.