PENGGUNAAN NERACA MAKROSKOPIS UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH KEADAAN TAK TUNAK DAN MASALAH DENGAN PROFIL KECEPATAN TIDAK RATA
USE OF THE MACROSCOPIC BALANCES TO SOLVE UNSTEADY-STATE PROBLEMS AND PROBLEMS WITH NONFLAT VELOCITY PROFILES
Dalam Tabel 15.5-1, kami merangkum kelima neraca makroskopis untuk keadaan tak tunak dan profil kecepatan tidak rata, serta untuk sistem dengan beberapa port masuk dan keluar. Biasanya, jarang sekali diperlukan penggunaan neraca ini dalam tingkat kelengkapan seperti ini, tetapi memiliki seluruh rangkaian persamaan ini dikumpulkan di satu tempat sangat praktis. Kami akan mengilustrasikan penggunaannya dalam contoh-contoh yang mengikuti.
Example 15.6-1: Pemanasan Cairan dalam Tangki dengan Pengaduk
Sebuah tangki silinder yang mampu menampung 1000 ft³ cairan dilengkapi dengan pengaduk yang memiliki daya yang cukup untuk menjaga suhu cairan tetap seragam (lihat Gambar 15.5-1). Panas ditransfer ke cairan melalui kumparan yang diatur sedemikian rupa sehingga area yang tersedia untuk perpindahan panas sebanding dengan jumlah cairan di dalam tangki. Kumparan pemanas ini terdiri dari 10 lilitan, dengan diameter 4 ft, dari pipa berukuran 1 in diameter luar. Air pada suhu 20°C dimasukkan ke dalam tangki ini dengan laju 20 lb/menit, dimulai dari keadaan kosong pada waktu t = 0. Uap pada suhu 105°C mengalir melalui
Uap mengalir melalui kumparan pemanas, dan koefisien perpindahan panas keseluruhan adalah 100 Btu/jam ft² °F. Berapakah suhu air ketika tangki terisi penuh?
SOLUTION
Kita akan membuat asumsi berikut:
a. Suhu uap seragam di seluruh kumparan.
b. Densitas dan kapasitas panas tidak berubah banyak dengan suhu.
c. Fluida kira-kira tidak dapat dimampatkan sehingga Cₚ = Cᵥ.
d. Pengaduk menjaga suhu cairan tetap seragam.
e. Koefisien perpindahan panas tidak bergantung pada posisi dan waktu.
f. Dinding tangki terisolasi sempurna sehingga tidak ada kehilangan panas.
Kita memilih fluida di dalam tangki sebagai sistem yang akan dipertimbangkan, dan membuat neraca energi bergantung waktu untuk sistem ini. Neraca ini diberikan oleh Persamaan (E) dalam Tabel 15.5-1. Di sisi kiri persamaan, laju perubahan waktu dari energi kinetik dan potensial dapat diabaikan relatif terhadap energi internal. Di sisi kanan, kita dapat mengabaikan istilah kerja, dan istilah energi kinetik serta potensial juga dapat diabaikan karena kecil dibandingkan dengan istilah lainnya. Karena tidak ada aliran keluar, kita menetapkan w₂ sama dengan nol. Oleh karena itu, neraca energi total untuk sistem ini disederhanakan menjadi
Ini menyatakan bahwa energi internal sistem meningkat karena entalpi yang ditambahkan oleh fluida yang masuk, dan karena penambahan panas melalui kumparan uap.
Karena U_int dan H₁ tidak dapat diberikan secara absolut, kita sekarang memilih suhu masuk T₁ sebagai titik referensi termal. Maka, H₁ = 0 dan U_int = ρCₚV(T – T₁) = ρCₚV(T – T₁), di mana T dan V adalah suhu dan volume cairan pada waktu tertentu. Selain itu, laju penambahan panas ke cairan Q diberikan oleh Q = Uₐ(Tₛ – T), di mana Tₛ adalah suhu uap, dan A adalah luas perpindahan panas sesaat. Oleh karena itu, Persamaan 15.5-1 menjadi
Ekspresi untuk V(t) dan A(t) adalah
di mana V₀ dan A₀ adalah volume dan luas perpindahan panas saat tangki terisi penuh. Oleh karena itu, persamaan neraca energi menjadi
yang harus diselesaikan dengan kondisi awal bahwa T = T₁ pada t = 0. Persamaan ini lebih mudah diselesaikan dalam bentuk tak berdimensi. Kita membagi kedua sisi dengan Wₐ₀(Tₛ – T₁) untuk mendapatkan
Persamaan ini menunjukkan bahwa definisi suhu dan waktu tak berdimensi yang sesuai adalah
Maka, persamaan dalam Persamaan 15.5-5 menjadi setelah beberapa pengaturan ulang
dan kondisi awal memerlukan bahwa θ = 0 pada τ = 0. Ini adalah persamaan diferensial linier orde pertama yang solusinya adalah (lihat Persamaan C.1-2)
Konstanta integrasi, C, dapat diperoleh dari kondisi awal setelah pertama kali mengalikan Persamaan 15.5-9 dengan τ. Dengan cara itu, ditemukan bahwa C = 1, sehingga solusi akhirnya adalah
Fungsi ini ditunjukkan dalam Gambar 15.5-2.
Akhirnya, suhu T₀ cairan dalam tangki, ketika sudah terisi, diberikan oleh Persamaan 15.5-10 saat t = ρV₀/Wₐ (dari Persamaan 15.5-3) atau T = Uₐ/WₐCₚ (dari Persamaan 15.5-7). Oleh karena itu, dalam istilah variabel asli,
Dengan demikian, dapat dilihat bahwa suhu cairan akhir ditentukan sepenuhnya oleh grup tak berdimensi Uₐ/WₐCₚ, yang untuk masalah ini memiliki nilai 2.74. Mengetahui hal ini, kita dapat menemukan dari Persamaan 15.5-11 bahwa (T₀ – T₁)/(Tₛ – T₁) = 0.659, sehingga T₀ = 76°C.