Teori Lapisan Batas Steady-State untuk Aliran di Sekitar Objek

STEADY-STATE BOUNDARY LAYER THEORY FOR FLOW AROUND OBJECTS

Pada 18.5 dan 6, kami membahas dua masalah perpindahan massa yang terkait dengan jenis lapisan batas. Sekarang kami ingin memperluas ide yang telah disampaikan dan mempertimbangkan aliran di sekitar objek dengan bentuk lain, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 12.4-2. Meskipun materi di bagian ini disajikan dalam istilah perpindahan massa, dipahami bahwa hasilnya dapat diterapkan langsung pada masalah perpindahan panas analog dengan perubahan notasi yang sesuai.

Lapisan batas konsentrasi dianggap sangat tipis, yang berarti hasil ini terbatas pada difusivitas kecil atau waktu paparan yang singkat. Hasilnya hanya berlaku pada wilayah antara titik stagnasi depan (dari mana x diukur) dan wilayah pemisahan atau turbulensi, jika ada, seperti yang diindikasikan pada Gambar 12.4-2.

Konsentrasi spesies yang berdifusi disebut cA, dan konsentrasi di permukaan objek adalah cA0. Di luar lapisan batas konsentrasi, konsentrasi A adalah nol.

Dengan melanjutkan seperti pada Contoh 12.4-3, kami mengadopsi sistem koordinat ortogonal untuk lapisan batas konsentrasi, di mana x diukur di sepanjang permukaan mengikuti arah garis arus. Koordinat y tegak lurus terhadap permukaan, dan koordinat z diukur di sepanjang permukaan tegak lurus terhadap garis arus. Ini adalah “koordinat ortogonal umum”, seperti yang dijelaskan dalam Eqs. A.7-10 hingga 18, tetapi dengan h₁ = 1, h₂ = hx(x, z), dan h₃ = hy(x, z). Karena aliran dekat antarmuka tidak memiliki komponen kecepatan dalam arah z, persamaan kontinuitas di sana adalah

Menurut Eq. A.7-16, persamaan difusi untuk lapisan batas konsentrasi adalah:

di mana Eqs. A.7-15 dan 17 telah digunakan. Dalam penulisan persamaan ini, diasumsikan bahwa: (i) komponen difusi fluks dalam arah x dan z dapat diabaikan, (ii) ketebalan lapisan batas jauh lebih kecil dibandingkan dengan jari-jari kelengkungan antarmuka lokal, dan (iii) densitas serta difusivitas konstan. Sekarang, kita ingin mendapatkan ekspresi formal untuk profil konsentrasi dan fluks massa untuk dua kasus yang merupakan generalisasi dari masalah yang diselesaikan dalam 18.5 dan 18.6. Ketika kita mendapatkan ekspresi untuk fluks molar lokal di antarmuka, kita akan menemukan bahwa ketergantungan pada difusivitas (pangkat 1/2 dalam 18.5 dan pangkat 2/3 dalam 18.6) sesuai dengan kasus (a) dan (b) di bawah ini. Hal ini ternyata sangat penting dalam penetapan korelasi tak berdimensi untuk koefisien perpindahan massa, seperti yang akan kita lihat di Bab 22.

Gradien Kecepatan Nol pada Permukaan Perpindahan Massa

Situasi ini terjadi pada cairan bebas surfaktan yang mengalir di sekitar gelembung gas. Di sini, vₓ tidak bergantung pada y, dan vᵧ dapat diperoleh dari persamaan kontinuitas yang diberikan sebelumnya. Oleh karena itu, untuk laju perpindahan massa yang kecil, kita dapat menulis ekspresi umum untuk komponen kecepatan sebagai:

di mana y bergantung pada x dan z. Ketika ini digunakan dalam Eq. 20.3-2, kita mendapatkan persamaan difusi untuk fase cair:

yang harus diselesaikan dengan kondisi batas:

Sifat kondisi batas menunjukkan bahwa perlakuan kombinasi variabel mungkin tepat. Namun, tidak langsung jelas bagaimana membangun kombinasi tak berdimensi yang sesuai. Oleh karena itu, kita mencoba yang berikut: biarkan cA/cA₀ = f(η), di mana η = y/δA(x, z), dan δA(x, z) adalah ketebalan lapisan batas untuk spesies A, yang akan ditentukan nanti.

Ketika kombinasi variabel yang ditunjukkan ini dimasukkan ke dalam Eq. 20.3-5, persamaan tersebut menjadi:

dengan kondisi batas: f(0) = 1 dan f(η) = 0. Jika, sekarang, koefisien dari (d²f/dη²) adalah sebuah konstanta, maka Eq. 20.3-9 akan memiliki bentuk yang sama dengan Eq. 4.1-9, yang kita ketahui cara penyelesaiannya. Untuk kenyamanan, kita spesifikasikan konstanta tersebut sebagai:

Selanjutnya, kita masukkan ekspresi untuk y dari Eq. 20.3-4 dan menyusun ulang persamaan tersebut sehingga menjadi:

Ini adalah persamaan linear orde pertama untuk δA, yang harus diselesaikan dengan kondisi batas δA = 0 pada x = 0. Integrasi dari Eq. 20.3-11 memberikan:

sebagai fungsi ketebalan untuk lapisan batas difusional. Karena Eq. 20.3-9 dan kondisi batas kemudian hanya mengandung η sebagai variabel independen, kombinasi variabel yang diusulkan adalah sah, dan profil konsentrasi diberikan oleh solusi dari Eq. 20.3-9:

Equations 20.3-12 dan 13 adalah solusi untuk masalah yang dihadapi. Selanjutnya, kita menggabungkan solusi ini dengan hukum Fick pertama untuk mengevaluasi fluks molar spesies A di antarmuka:

Profil Kecepatan Linier Dekat Permukaan Perpindahan Massa

Fungsi kecepatan ini sesuai untuk perpindahan massa di permukaan padat (lihat Contoh 12.4-3) ketika lapisan batas konsentrasi sangat tipis. Di sini, vᵧ bergantung secara linier pada y dalam lapisan batas konsentrasi, dan vᵧ dapat diperoleh dari persamaan kontinuitas. Oleh karena itu, ketika fluks massa bersih melalui antarmuka kecil, komponen kecepatan dalam lapisan batas konsentrasi adalah:

di mana y bergantung pada x dan z. Dengan menggantikan ekspresi ini ke dalam Eq. 20.3-2, kita mendapatkan persamaan difusi untuk fase cair:

yang harus diselesaikan dengan kondisi batas:

Sekali lagi, kita menggunakan metode kombinasi variabel, dengan menetapkan cA/cA₀ = f(η), di mana η = y/δA(x, z). Ketika perubahan variabel dilakukan, persamaan difusi menjadi:

dengan kondisi batas: f(0) = 1 dan f(η) = 0. Solusi dalam bentuk f(η) hanya mungkin jika faktor dalam tanda kurung adalah konstanta. Menetapkan konstanta tersebut sama dengan 3 mengurangi Eq. 20.3-21 menjadi Eq. 18.6-6, untuk mana solusinya sudah diketahui. Oleh karena itu, kita sekarang mendapatkan ketebalan lapisan batas dengan mensyaratkan bahwa:

Solusi dari persamaan orde pertama, linier untuk δA adalah:

Oleh karena itu, solusi untuk masalah di subseksi ini adalah:

yang menyusut menjadi Eq. 18.6-10 untuk sistem yang dipertimbangkan di sana. Akhirnya, kita mendapatkan ekspresi untuk fluks molar di antarmuka, yaitu:

Untuk permukaan datar, dengan h₁ = h₂ = 1 dan P = konstanta, Eq. 20.3-26 menyusut menjadi Eq. 18.6-11

Example 20.3-11: Transfer Massa untuk Aliran Merayap di Sekitar Gelembung Gas

Sebuah cairan B mengalir sangat lambat di sekitar gelembung gas A dengan jari-jari R. Temukan laju transfer massa A ke dalam fluida di sekitarnya, jika kelarutan gas A dalam cairan B adalah c₀.

(a) Tunjukkan bagaimana menggunakan Eq. 20.3-14 untuk mendapatkan fluks massa di antarmuka gas-cair untuk sistem ini.
(b) Kemudian dapatkan fluks massa rata-rata di seluruh permukaan bola.

SOLUTION

(a) Pilih sebagai titik asal koordinat titik stagnasi hulu, dan definisikan koordinat x dan z sebagai berikut: x = R₀ dan z = R(sin θ)φ, di mana θ dan φ adalah koordinat sferis biasa. Arah y kemudian sama dengan arah r dari koordinat sferis. Kecepatan antarmuka diperoleh dari Eq. 4B.3-3 sebagai vₒ = 1/2vₐ sin θ, di mana vₐ adalah kecepatan pendekatan.

Ketika kuantitas ini dimasukkan ke dalam Eq. 20.3-14, kita mendapatkan:

(b) Untuk mendapatkan nilai rata-rata permukaan dari laju perpindahan massa, kita mengintegrasikan ekspresi di atas di seluruh θ dan φ dan membagi dengan permukaan bola:

Dalam beralih dari baris kedua ke baris ketiga, kami melakukan perubahan variabel cos θ = u, dan untuk mendapatkan baris keempat, kami mengeluarkan (1 – u) dari pembilang dan penyebut. Persamaan 20.3-28 disebutkan dalam Persamaan 18.5-20 terkait dengan penyerapan dari gelembung gas. Persamaan ini juga akan dirujuk lagi di Bab 22 terkait dengan koefisien perpindahan massa.