Transportasi massa lapisan batas dengan gerakan antarmuka kompleks
BOUNDARY LAYER MASS TRANSPORT WITH COMPLEX INTERFACIAL MOTION
Gerakan antarmuka yang bergantung pada waktu dan turbulensi umum terjadi dalam operasi transfer fluida-fluida. Teori lapisan batas memberikan wawasan yang berguna dan hubungan asimtotik untuk sistem ini, memanfaatkan ketipisan lapisan batas konsentrasi untuk DₐB kecil (seperti dalam cairan) atau untuk aliran dengan pemisahan lapisan batas yang sering (seperti pada antarmuka beriak atau berosilasi). Transfer massa dengan gerakan antarmuka sederhana telah dibahas dalam 18.5 untuk film jatuh laminar dan gelembung yang bersirkulasi, serta dalam Contoh 20.1-4 untuk antarmuka yang mengembang secara seragam. Di sini, kami mempertimbangkan transfer massa dengan gerakan antarmuka yang lebih umum.
Pertimbangkan transportasi bergantung waktu dari spesies A antara dua fase fluida, dengan komposisi awal yang seragam tetapi berbeda. Kami mulai dengan persamaan kontinuitas biner untuk p dan DₐB konstan (Eq. 19.1-16, dibagi oleh p):
Kami sekarang ingin mereduksi ini menjadi bentuk lapisan batas untuk DₐB kecil, kemudian menyajikan solusi untuk berbagai masalah konveksi paksa dengan hambatan pengendali dalam satu fase. Kami menggunakan pendekatan lapisan batas berikut:
(i) Bahwa fluks massa difusif searah dengan vektor satuan n yang tegak lurus terhadap elemen antarmuka terdekat. (Pendekatan ini digunakan di seluruh bagian lapisan batas buku ini. Pendekatan orde lebih tinggi, yang tidak dibahas di sini, lebih tepat untuk menggambarkan difusi lapisan batas di dekat tepi, bangkitan, dan lokasi pemisahan.)
(ii) Bahwa kecepatan fluida tangensial relatif terhadap antarmuka dapat diabaikan dalam lapisan batas konsentrasi. (Pendekatan ini memadai untuk sistem fluida-fluida tanpa surfaktan, ketika hambatan antarmuka tidak terlalu besar.)
(iii) Bahwa lapisan batas konsentrasi sepanjang setiap antarmuka tipis relatif terhadap jari-jari kelengkungan antarmuka lokal.
(iv) Bahwa lapisan batas konsentrasi pada elemen antarmuka yang tidak berdekatan tidak saling tumpang tindih.
Masing-masing pendekatan ini secara asimtotik berlaku untuk DₐB kecil dalam aliran tanpa sirkulasi dengan antarmuka yang tidak kaku dan Dwₐ/Dt yang tidak nol, yaitu, dengan konsentrasi yang bergantung pada waktu seperti yang dilihat oleh pengamat yang bergerak bersama fluida. Sistem-sistem yang dibahas dalam bagian (a) dari 20.3 termasuk di dalamnya, karena sistem-sistem tersebut bergantung pada waktu bagi pengamat yang bergerak (meskipun tetap bagi pengamat yang diam).
Koordinat yang tertanam pada antarmuka digunakan dalam diskusi ini, dengan grid antarmuka yang halus secara sepotong-sepotong seperti pada Gambar 20.4-1. Setiap elemen antarmuka dalam sistem diberi label permanen dengan koordinat permukaan (u, w), dan vektor posisinya adalah rₛ(u, w, t). Setiap titik dalam lapisan batas diidentifikasi oleh jaraknya y dari titik antarmuka terdekat, bersama dengan koordinat permukaan (u, w) dari titik tersebut. Vektor posisi sesaat dari setiap titik (u, w, y) pada waktu t kemudian adalah:
Relatif terhadap titik asal yang diam, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 20.4-2, fungsi rₛ(u, w, t) memberikan lintasan setiap titik antarmuka (u, w, 0), dan fungsi terkait n(u, w, t) = (d/dy)r memberikan vektor normal sesaat dari setiap elemen permukaan menuju sisi positifnya. Fungsi-fungsi ini dapat dihitung dari mekanika fluida untuk aliran sederhana, dan menyediakan kerangka untuk menganalisis eksperimen dalam aliran yang kompleks.
Elemen area antarmuka terdiri dari partikel material yang sama saat bergerak melalui ruang. Besar area berubah seiring waktu dan dinyatakan dengan:
. Demikian pula, besar volume dari bagian lapisan batas antara y dan y + dy adalah:
Volume sesaat dari elemen spasial du dw dy dalam lapisan batas (lihat Gambar 20.4-2) adalah:
di mana 
adalah produk berikut dari vektor dasar antarmuka lokal, (d/du)r dan (d/dv)r, serta vektor satuan normal (d/dy)r = n.
dan dianggap tidak negatif dalam diskusi ini. Persamaan kedua mengikuti karena n searah dengan produk vektor dari vektor dasar antarmuka lokal, yang terletak di bidang antarmuka. Dengan demikian, area sesaat dari elemen antarmuka du dw dalam Gambar 20.4-2 adalah:
di mana s(u, w, t) adalah produk berikut dari vektor dasar antarmuka:
Dalam koordinat yang tertanam pada antarmuka ini, kecepatan rata-rata massa V relatif terhadap sumbu koordinat yang diam memiliki bentuk:
Dalam bagian ini, v adalah kecepatan rata-rata massa fluida relatif terhadap pengamat di (u, w, y), dan (d/dt)r(u, w, y, t) adalah kecepatan pengamat tersebut relatif terhadap titik asal yang diam. Mengambil divergensi dari persamaan ini memberikan corollary (lihat Masalah 20D.5):
Persamaan ini menyatakan bahwa divergensi V berbeda dari divergensi v oleh laju ekspansi atau kontraksi lokal dari kerangka koordinat yang tertanam. Istilah terakhir dalam Persamaan 20.4-8 muncul ketika terjadi deformasi antarmuka. Pengabaian istilah ini dalam masalah tersebut menghasilkan prediksi yang tidak akurat, yang kemudian disesuaikan oleh Figbie dan Vanckwerts dengan memperkenalkan waktu residensi permukaan hipotetik atau rejuvenasi permukaan. Hipotesis semacam itu tidak diperlukan dalam analisis ini.
Penerapan Persamaan 20.4-8 pada y = 0 dan penggunaan kondisi densitas konstan menghasilkan:
Bersama dengan kondisi tanpa selip pada bagian tangensial dari v, memberikan turunan:
Oleh karena itu, perluasan Taylor yang dipangkas adalah:
menggambarkan komponen normal dari v dalam fluida tak terkompresi di dekat antarmuka yang mengalami deformasi. Perluasan yang sesuai untuk bagian tangensial dari v memberikan:
di mana B₁₁(u, w, t) adalah turunan y dari v₁₁ pada antarmuka. Dengan hasil ini (mengabaikan istilah O(y²)) dan pendekatan (i), kita dapat menulis Persamaan 20.4-1 untuk wA(u, w, y, t) sebagai:
Di sini (∇, n) adalah divergensi permukaan dari n pada titik antarmuka terdekat dan merupakan jumlah dari kurvatur utama permukaan di sana. Istilah + . . . menunjukkan istilah dengan ordo lebih tinggi, yang diabaikan di sini.
Untuk memilih istilah yang dominan dalam Persamaan 20.4-13, kita memperkenalkan koordinat tak berdimensi:
di mana K adalah ketebalan rata-rata dari lapisan batas konsentrasi. Ketika Persamaan 20.4-14 ditulis dalam istilah variabel baru ini, kita mendapatkan:
ntuk wₐ dalam istilah u, w, Y, dan t. Karena, berdasarkan alasan fisik, K akan menurun dengan menurunnya D_AB, istilah dominan untuk D_AB kecil adalah istilah dengan ordo terendah dalam K—yaitu, semua kecuali kontribusi B₁₁ dan (∇, n). Subdominansi istilah terakhir menegaskan validitas asimptotik dari pendekatan (ii) dan (iii) dalam aliran tanpa resirkulasi.
Sekarang, koefisien dari semua istilah dominan harus proporsional di seluruh rentang D_AB, agar istilah ini tetap sebanding dalam batas d_AB kecil. Prinsip “keseimbangan dominan” semacam ini telah diterapkan sebelumnya di 513.6. Di sini, ini memberikan urutan magnitudo:
untuk istilah dengan ordo terendah sehubungan dengan K. Persamaan 20.4-16 konsisten dengan contoh sebelumnya tentang ketergantungan daya dari ketebalan lapisan batas difusi terhadap D_AB dalam aliran permukaan bebas. Ini juga menegaskan kebenaran asimptotik dari asumsi (iv) untuk nilai D_AB kecil. Persamaan 20.4-17 konsisten dengan proporsionalitas v yang ditunjukkan dalam Persamaan 20.1-10 untuk masalah Arnold.
untuk ordo terendah dalam K. Pada ordo pendekatan berikutnya, istilah yang proporsional dengan K akan muncul, dan ini melibatkan kecepatan tangensial v_B dan kurvatur antarmuka (∇, n). Istilah terakhir muncul dalam Masalah 20C.1 dan 20C.2.
Perkalian Persamaan 20.4-18 dengan p/M_A (sebuah konstanta untuk asumsi yang dibuat di sini), dan penggunaan z sebagai koordinat normal terhadap antarmuka seperti dalam Contoh 20.1-1, memberikan persamaan yang sesuai untuk konsentrasi molar c_A(u, w, z, t):
yang memungkinkan perluasan yang nyaman dari beberapa contoh sebelumnya. Korolari berguna lainnya adalah persamaan lapisan batas biner dalam istilah c_A dan v*:
di mana c dan D_AB telah diperlakukan sebagai konstanta, seperti dalam Contoh 20.1-1.
Example 20.4-1: Transfer Massa dengan Deformasi Antarmuka yang Tidak Seragam
Persamaan 20.4-19 dengan mudah memberikan bentuk umum dari Persamaan 20.1-65, dengan menghilangkan istilah sumber reaksi R_A dan mengabaikan istilah kecepatan normal v_n (sehingga mengasumsikan bahwa fluks massa bersih antarmuka kecil). Persamaan yang diperoleh memiliki bentuk seperti Persamaan 20.1-65, kecuali bahwa laju pertumbuhan total permukaan d ln S/dt digantikan oleh laju pertumbuhan lokal, yang diberikan oleh d ln s(u, w, t)/dt. Persamaan diferensial parsial yang dihasilkan memiliki dua variabel ruang tambahan (u dan w), tetapi dapat diselesaikan dengan cara yang sama, karena tidak ada turunan terhadap variabel tambahan yang muncul.
SOLUTION
Menulis ulang Persamaan 20.1-66 dengan fungsi ketebalan lapisan batas δ(u, w, t) menghasilkan, melalui langkah-langkah analog, hubungan:
dan generalisasi yang sesuai dari Persamaan 20.1-71 dan 20.1-72 adalah:
Solusi ini, tidak seperti Persamaan 20.1-71 dan 20.1-72, mencakup variasi spasial dari ketebalan lapisan batas dan fluks molar antarmuka NAZ0 yang terjadi dalam aliran nonuniform.
Peregangan lokal dari antarmuka (seperti pada lokasi stagnasi) membuat lapisan batas lebih tipis dan meningkatkan NAZ0. Penyusutan lokal antarmuka (pada lokasi pemisahan) mengurangi NAZ0, tetapi juga mengeluarkan fluida tua dari lapisan batas, memungkinkan pencampuran ke dalam interior fase yang sama. Pengamatan peningkatan transfer massa oleh pencampuran semacam itu telah diinterpretasikan oleh beberapa peneliti sebagai “peremajaan permukaan,” meskipun penciptaan elemen permukaan baru dalam permukaan yang sudah ada tidak diizinkan dalam mekanika fluida kontinu.
Hasil ini, dan lainnya untuk v,,, yang dapat diabaikan, dapat diperoleh dengan mudah dengan memperkenalkan variabel baru berikut ke dalam Persamaan 20.4-19:
Dalam ketiadaan reaksi kimia, persamaan diferensial yang dihasilkan untuk fungsi konsentrasi cA(u, w, z, τ) menjadi:
Ini adalah generalisasi dari hukum kedua Fick menjadi hubungan asimptotik untuk konveksi paksa dalam aliran permukaan bebas.