Matriks Aproksimasi Untuk Transport Massa Multikomponen

MATRIX APPROXIMATIONS FOR MULTICOMPONENT MASS TRANSPORT

Perpindahan massa multikomponen terjadi secara luas dalam proses kimia, fisiologis, biologis, dan lingkungan dan dianalisis dengan berbagai metode matematis. Di sini kami meninjau beberapa metode aproksimasi matriks untuk perpindahan massa melalui konveksi dan difusi biasa dalam gas multikomponen. Penanganan yang lebih lengkap, termasuk perpindahan massa dalam cairan, diberikan dalam teks oleh Taylor dan Krishna.

Masalah perpindahan massa multikomponen biasanya didekati dengan linearization—yaitu, dengan mengganti properti variabel dalam persamaan pengatur dengan nilai referensi tetap. Pendekatan ini merupakan pelengkap yang berguna untuk metode numerik murni, terutama untuk aliran yang kompleks, dan dapat memberikan prediksi yang baik ketika variasi properti tidak terlalu besar. Analisis multikomponen semacam ini telah dipresentasikan oleh banyak peneliti, untuk media tenang dan untuk sistem konveksi paksa.

Kami mulai dengan persamaan kontinuitas spesies seperti yang diberikan dalam Persamaan 19.1-15, dan menerapkannya pada sistem gas N komponen dengan N – 1 fraksi mol independen x dan jumlah aliran difusi independen yang sama J. Biarkan [X] dan [J] masing-masing menunjukkan array kolom dari fraksi mol independen x₁, . . . , x_{N-1} dan aliran difusi independen J₁, . . . , J_{N-1}; kemudian mengaproksimasi kerapatan molar c dalam Persamaan 19.1-15 dengan nilai referensi c₀ memberikan sistem persamaan linier:

untuk aliran laminar atau turbulen yang bebas dari reaksi kimia homogen.
Untuk difusi biasa multikomponen, ekspresi aliran dapat ditulis sebagai generalisasi matriks dari hukum pertama Fick (Persamaan B dari Tabel 17.8-2),

atau sebagai pernyataan matriks dari persamaan Maxwell-Stefan (Persamaan 17.9-1):

Matriks [D] dan [A] harus berukuran (N – 1) X (N – 1) dan tidak singular untuk memberikan jumlah aliran independen yang dinyatakan (dalam Persamaan 22.9-2), serta fraksi mol independen (dalam Persamaan 22.9-3). Konsistensi kedua persamaan ini kemudian memerlukan bahwa [D] = [A]p pada keadaan tertentu.
Di wilayah gas dengan kerapatan sedang, elemen-elemen matriks [A] dapat diprediksi dengan akurat dari Persamaan 17.9-1, memberikan:

di mana pembagi B_{op} adalah difusivitas biner dari pasangan spesies yang bersangkutan. Dalam pendekatan pertama teori kinetik gas Chapman-Enskog, koefisien untuk pasangan α dan β tergantung hanya pada c dan T, seperti dalam Persamaan 17.3-11. Ekspresi sederhana ini membuat kami lebih memilih Persamaan 22.9-3 daripada Persamaan 22.9-2, kecuali jika pengukuran [D] tersedia pada kondisi yang diinginkan. Persamaan yang secara formal serupa dapat ditulis dalam komposisi dan aliran berbasis massa atau volume, setelah transformasi yang sesuai dari matriks koefisien [A] atau [D]. Satuan massa lebih disukai jika persamaan gerak disertakan dalam formulasi masalah, karena kecepatan rata-rata massa menjadi penting seperti yang ditunjukkan dalam 19.2.

Untuk sistem multikomponen (N ≥ 3), masing-masing dari ekspresi aliran ini biasanya memiliki matriks koefisien non-diagonal, menghasilkan sistem persamaan difusi yang terhubung. Persamaan 22.9-3 dapat dipisahkan dengan menggunakan transformasi:

di mana [P] adalah matriks dari vektor eigen kolom dari [A], dan A₁, . . . , A_{N-1} adalah nilai eigen yang bersangkutan. Nilai-nilai eigen ini, akar dari persamaan det[A – AᵢI] = 0, adalah positif pada setiap keadaan campuran yang stabil secara lokal; mereka juga tidak berubah terhadap transformasi kesamaan dari [A] ke unit komposisi lainnya. Di sini I adalah matriks satuan orde N – 1.

Matriks [D], ketika digunakan, dapat direduksi dengan cara yang sama menggunakan matriks [P] yang sama, dan nilai eigennya D₁, . . . , D_{N-1} adalah kebalikan dari A₁, . . . , A_{N-1}. Untuk efisiensi, [A] (atau [D]) dan array yang diturunkan darinya akan selalu dievaluasi pada nilai properti referensi, sehingga tidak perlu menggunakan subskrip 0*; namun, subskrip w akan ditambahkan pada [A], [D], [P], dan [P]⁻¹ ketika array ini didasarkan pada kuantitas dalam satuan massa.

Persamaan 22.9-5 menunjukkan bahwa komposisi yang ditransformasi dan aliran difusi yang ditransformasi berikut seharusnya berguna:

Selanjutnya, tanda aksen (‘) akan diletakkan pada variabel yang ditransformasi tersebut dan pada elemen matriks diagonal yang bersangkutan, termasuk nilai eigen Aᵢ dan Dᵢ. Pemultiplikasian sebelum Persamaan 22.9-3 oleh [P]⁻¹ dan penggunaan Persamaan 22.9-5 hingga 9 kemudian memberikan persamaan aliran yang tidak terhubung:

secara formal setara dengan hukum pertama Fick untuk sistem biner N – 1. Persamaan kontinuitas multikomponen 22.9-1 dengan demikian ditransformasikan menjadi:

Dengan demikian, komposisi yang ditransformasi xₐ dan aliran jₐ untuk setiap α memenuhi persamaan kontinuitas dan aliran dari masalah biner dengan fungsi v yang sama (laminar atau turbulen) seperti sistem multikomponen, dan dengan difusivitas D_{AB} sama dengan nilai eigen Dᵢ = 1 / Aᵢ.

Kondisi awal dan batas pada [x’] dan [j’] diperoleh dari kondisi pada [x] dan [J] dengan menerapkan Persamaan 22.9-6 dan 8. Masalah kuasi-biner yang dihasilkan kemudian dapat diselesaikan, menggunakan teori atau korelasi dari eksperimen, dan hasilnya digabungkan melalui Persamaan 22.9-7 dan 9 untuk mendapatkan solusi multikomponen dalam bentuk [x] dan [J].

Laju transfer massa lokal dalam sistem biner dapat dinyatakan dalam bentuk:

seperti yang ditunjukkan dalam Persamaan 22.1-7 dan 22.8. Notasi … setelah jₐ menunjukkan variabel tambahan (seperti θ dalam 22.8) yang mungkin menjadi dasar bagi koefisien transfer massa biner kₐ. Set persamaan yang sesuai dalam notasi Persamaan 22.9-10 dan 11 adalah:

atau dalam bentuk matriks,

Transformasi hasil ini ke dalam variabel asli memberikan aliran difusi antarmuka Jₐ, . . . , Jₑ ke dalam fase gas sebagai

atau perbedaan komposisi untuk aliran yang diberikan Jₐ sebagai

Di sini [k] adalah matriks diagonal yang ditunjukkan dalam Persamaan 22.9-14, dan [h⁻¹] dibentuk dari kebalikan elemen diagonal yang sama. Seperti pada sistem biner, informasi lebih lanjut diperlukan untuk menghitung aliran spesies Nₐ relatif terhadap antarmuka, yang memberikan laju transfer lokal. Rasio aliran r = Nₐ₀ / Nᵇ₀ ditentukan dalam Persamaan 21.1-9 untuk menyelesaikan Nₐ; spesifikasi yang setara diperlukan untuk sistem multikomponen.

Perhitungan aliran Nₐ dari aliran difusi jₐ dan laju transfer relatif disebut “masalah bootstrap,” dan dibahas dengan baik dalam Referensi 1. Masalah ini menjadi lebih sederhana jika Persamaan 22.9-14 ditulis ulang sebagai berikut, menggunakan array [N₀] dari aliran molar antarmuka Nₐ₀, . . . , Nₙ₋₁₀ relatif terhadap antarmuka,

untuk memungkinkan penyisipan langsung dari hubungan antara laju transfer spesies. Hasil yang sesuai untuk array [n₀] dari aliran massa antarmuka nₐ₀, . . . , nₙ₋₁₀ relatif terhadap antarmuka adalah

Beberapa bentuk khusus dari hasil ini sekarang akan diberikan. Untuk sistem tanpa aliran molar antarmuka bersih, jumlah N-term dalam Persamaan 22.9-17 hilang, dan persamaan ini mengambil bentuk yang nyaman:

di mana array diagonal [k] tidak memerlukan koreksi aliran bersih. Hasil ini dapat diperluas ke aliran molar antarmuka bersih yang moderat dengan memperkirakan setiap koefisien transfer kₐ (Dₐ, ϕₐ) dalam Persamaan 22.9-14 sebagai fungsi linier dari aliran molar antarmuka bersih, menggunakan garis tangen pada ϕ = 0 dari kurva 8 dalam Gambar 22.8-2 untuk model transfer massa yang dipilih. Ini memberikan sistem persamaan linier:

untuk model film diam yang diberikan dalam 22.8. Dengan cara yang sama, diperoleh:

untuk model penetrasi yang diberikan dalam 20.4 dan 22.8, dan

untuk batas dalam lapisan batas laminar, yang ditunjukkan dalam Gambar 22.8-5, 6 dan berlaku untuk lapisan batas yang tidak terpisah dalam aliran tiga dimensi yang stabil.

Dalam sistem tanpa aliran massa antarmuka bersih, seperti dalam reaksi yang dikatalisis padat pada keadaan stabil, Persamaan 22.9-18 menyusut menjadi:

Elemen-elemen dari matriks B dapat diprediksi dari ekspresi untuk angka Sherwood biner atau faktor j, seperti yang didefinisikan untuk satuan berbasis massa dalam Tabel 22.2-1, dengan nilai eigen λ dimasukkan menggantikan difusivitas biner D<sub>αβ</sub>.

Untuk bidang aliran tertentu, produk [Λ][k] dan [Λ] dalam Persamaan 22.9-19 hingga 22 adalah fungsi dari matriks [A]. Produk tripel matriks ini, yang di sini disebut [k], bersifat non-diagonal untuk N ≥ 3 sementara [k] adalah diagonal seperti yang dicatat di atas.

Metode sederhana dan efisien untuk memperkirakan fungsi semacam itu telah dikembangkan oleh Alopaeus dan Nord6n. Biarkan f menjadi fungsi skalar bernilai riil yang didefinisikan pada nilai eigen dari matriks [A], di mana elemen diagonal mendominasi seperti dalam Persamaan 22.9-4. Pendekatan yang diusulkan untuk elemen-elemen dari matriks [B] = f [A] adalah sebagai berikut:

Alopaeus dan Nordenlo menguji pendekatan ini pada matriks koefisien transfer massa dalam bentuk atau bentuk dan pada fluks yang bersesuaian dalam sistem dengan 3 hingga 25 spesies gas. Eksponen p dari 0.25 hingga 0.66 digunakan; nilai dari 0 hingga 0.5 muncul dalam ekspresi transfer massa bab ini.

Perbandingan dilakukan terhadap perhitungan tepat elemen melalui Persamaan 22.9-19, dan terhadap model film yang diberikan oleh Krishna dan Standart, di mana setiap elemen dihitung secara independen dengan difusivitas biner yang bersesuaian. Perhitungan dari Persamaan 22.9-24 dan 25 memakan waktu 3 hingga 5 kali lebih cepat daripada perhitungan dengan Persamaan 22.9-19 dan terbukti cukup akurat (kesalahan relatif biasanya kurang dari 1% dan jarang sebesar 10%), terutama ketika dilakukan langsung dari matriks Stefan-Maxwell [A] yang mendominasi diagonal daripada dari inversenya, [D].

Perhitungan dengan model film Krishna-Standart lebih lambat daripada yang dilakukan dengan Persamaan 22.9-24 dan 25, dan kesalahan tipikalnya beberapa kali lebih besar. Oleh karena itu, Persamaan 22.9-24 dan 25 direkomendasikan sebagai pendekatan praktis untuk elemen-elemen dari produk matriks dalam Persamaan 22.9-19 hingga 22 kapan pun Persamaan 22.9-4 digunakan. Pendekatan ini juga dapat digunakan dalam Persamaan 22.9-23, dengan [B] ditransformasikan pada akhir menjadi satuan berbasis massa; namun, Persamaan 22.9-20 atau 22 akan lebih nyaman dan akurat secara komparatif pada fluks molar bersih moderat yang biasanya dijumpai dalam katalisis heterogen.

Akurasi solusi linier yang dilinierkan tergantung pada pemilihan nilai properti referensi, terutama ketika variasi properti cukup besar. Dalam pembahasan berikut, semua properti dievaluasi pada keadaan referensi umum, dengan komposisi yang diberikan sebagai fraksi mol.

atau fraksi massa.

Perhatikan bahwa [x,,,] tetap terbuka untuk dipilih bahkan untuk Persamaan 22.9-20, 21, atau 22, karena komposisi rata-rata yang ditunjukkan di sana menyediakan koreksi fluks bersih dan bukan nilai properti fisik.

Persamaan 22.9-17, 18, dan beberapa pendekatan lain untuk transfer massa multikomponen telah diuji terhadap integrasi variabel-properti yang terperinci untuk sistem isotermal. Kesimpulan dari studi ini adalah sebagai berikut:

Untuk dua puluh masalah difusi gas keadaan tidak stabil, yang mencakup berbagai laju transfer massa bersih, linearisasi dalam satuan molar mendekati solusi eksak dengan baik. Laju evaporasi dan kondensasi isobutana, untuk sistem iC4H10-N2-H2 dalam geometri Contoh 20.1-1, diperkirakan dengan deviasi standar 1,6% oleh Persamaan 22.9-17, menggunakan fraksi mol referensi yang dihitung dari Persamaan 22.9-26 dengan α = 0,5. Linearisasi dalam satuan berbasis massa, melalui Persamaan 22.9-18, terbukti inferior karena variasi yang besar dalam ρ dan [A]. Metode ini, dengan nilai α yang lebih disukai 0,8, menghasilkan deviasi standar 3,8% untuk fluks antarmuka N,, dari spesies yang dapat dipindahkan (isobutana). Pendekatan film quasi-stationary terbukti kurang akurat; penggunaan faktor koreksi (seperti yang diberikan oleh Stewart dan Prober untuk model film dari 22.8) memberikan deviasi standar 7,88% dengan n yang dioptimalkan menjadi 1,0. Model film Krishna dan Standart, yang tidak menggunakan linearisasi, memberikan deviasi standar 14,3% yang independen dari α dan α,. Hasil ini mendukung penggunaan Persamaan 22.9-17 (atau, untuk laju transfer sedang, Persamaan 22.9-21) dengan α = 0,5 untuk fase gas dalam operasi transfer yang dijelaskan oleh model penetrasi.
Untuk dua puluh masalah transfer momentum dan massa dalam lapisan batas gas laminar H₂, N₂, dan CO pada pelat datar berpori, yang diselesaikan dengan akurat oleh Prober; linearisasi dalam satuan berbasis massa mendekati solusi eksak dengan baik. Solusi variabel-properti yang terperinci untuk n,, diperkirakan untuk ketiga spesies dengan deviasi standar 0,55% oleh Persamaan 22.9-18, menggunakan koefisien transfer massa ib yang diprediksi melalui Persamaan 20.2-47 dan 22.9-27 dengan α yang dioptimalkan menjadi 0,4. Model film dari Stewart dan Prober serta Standart dan Krishna memberikan deviasi standar masing-masing 4,78% (dengan α = 1,0) dan 8,25% untuk laju transfer spesies.

Metode yang disajikan di sini semakin banyak digunakan dalam rekayasa proses pemisahan multikomponen. Kemajuan dalam teknologi komputasi telah memfasilitasi penggunaan metode ini dan mendorong penyelidikan menuju metode yang lebih baik, untuk menangani fenomena nonlinier termasuk reaksi kimia kompleks.