Laplacian Discretisation

Mari kita pertama-tama menjelaskan diskritisasi istilah Laplacian untuk difusi, yang diperkenalkan di Bagian. 2.14.

Mengikuti prinsip volume terbatas yang dijelaskan dalam Sec. 3.1, diskritisasi mendekati integral permukaan dengan penjumlahan pada permukaannya

Nilai   dari Persamaan. (3.2) dapat dilihat sebagai penjumlahan pada permukaan sebuah sel. Menerapkan penjumlahan ke semua sel memberikan kontribusi terhadap koefisien  dan persamaan matriks.

Data mesh  dan  dihitung menurut Sec. 3.3 jadi sisa sifat yang harus ditentukan adalah:

• diffusivitas pada wajah ;
• gradien normal permukaan pada permukaan  .

Bidang dan dikaitkan dengan sel, sehingga skema numerik diperlukan untuk mengevaluasi properti pada permukaan. Pertama-tama kami akan menjelaskan interpolasi untuk , yang umumnya menggunakan skema linier. Gradien normal permukaan dibahas di Sec. 3.8.

Interpolasi dari sel ke permukaan

Memetakan data antar lokasi yang berbeda adalah praktik umum dalam numerik. Karena metode volume terbatas berkaitan dengan fluks pada permukaan, prosedur pemetaan utamanya adalah interpolasi dari sel ke permukaan. Karena interpolasi lain lebih jarang terjadi, maka dapat diasumsikan bahwa istilah “interpolasi” berarti dari sel ke wajah kecuali dinyatakan lain.

Untuk jerat polihedral tidak beraturan, interpolasi digeneralisasikan dengan mendefinisikan bidang bobot untuk setiap muka sesuai dengan

(3.3)

dimana adalah bidang muka yang diinterpolasi. Subskrip  dan  menunjukkan nilai masing-masing pada sel pemilik dan sel tetangga.

Interpolasi linier

Skema interpolasi linier diatur  berdasarkan variasi linier antara nilai sel  dan . Bobot kemudian dapat dihitung berdasarkan jarak dari pusat permukaan ke pusat sel yang berdekatan, dalam arah normal terhadap permukaan, dengan cara

                                                                     (3.4)