Matrix Construction

Pembangunan setiap persamaan matriks melibatkan pembentukan koefisien matriks dan sumber dari suku dalam persamaan yang sedang diselesaikan, dengan penyesuaian lebih lanjut untuk kondisi batas.

Gambar di bawah ini menggambarkan proses pembangunan persamaan matriks untuk suatu medan $\text{[math]}$ dari suatu persamaan yang mencakup adveksi, diifusi, dan sumber eqn .

Koefisien untuk matriks $\text{[math]}$ dan sumber $\text{[math]}$ dihitung untuk setiap suku individusi dalam persamaan e.g. $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , etc menggunakan metode deksritisasi yang dijelaskan pada bab ini.

Koefisien keseluruhan dihitung sebagai jumlah dari koefisien untuk setiap suku dalam persamaan tersebut. Sebagian besar suku memberikan kontribusi baik pada matriks maupun koefisien sumber, meskipun hal ini tergantung pada pilihan skema diskritisasi

Finally, boundary conditions are incorporated into the equation through further adjustments to coeﬃcients in $\text{[math]}$ and $\text{[math]}$ as shown below. The adjustments, principally from the advection and diﬀusion terms, are applied to coeﬃcients corresponding to cells at the domain boundary.

Akhirnya, kondisi batas saling bersinggungan ke dalam persamaan melalui pengaturan lebih lanjut pada koefisian $\text{[math]}$ dan $\text{[math]}$ seperti di bawah ini. Pengaturan, prinsipnya dari istilah adveksi dan difusi, yang digunakan pada koefisien yang saling berhubungan pada cell pada domain boundary

Implisit dan eksplisit

Persamaan untuk suatu persamaan medan eqn pada halaman sebelumnya didiscretisasi untuk membentuk persamaan matriks eqn . Diskretisasi disebut implisit ketika ia berkontribusi terhadap koefisien dengan memperlakukan $\text{[math]}$ sebagai medan yang terpecahkan .

Diskretisasi eksplisit menghitung koefisien dalam $\text{[math]}$ hanya, dengan menggunakan nilai-nilai saat ini dari medan. Ketika memecahkan suatu persamaan untuk eqn , turunan tanpa persamaan harus eksplisit. Istilah dengan eqn bisa diperlakukan secara eksplisit dengan menggunakan nilai-nilai saat ini dari eqn , tetapi umumnya tidak, karena solusi eksplisit tidak stabil melampaui langkah waktu pembatas seperti yang dijelaskan di Bagian 3.17. Sebuah pengecualian yang mencolok dari ini adalah istilah-istilah yang dibahas di Bagian 3.20.

Turunan curl, misalnya $\text{[math]}$ , termasuk istilah dalam $\text{[math]}$ dan $\text{[math]}$ dalam persamaan matriks terpisah untuk eqn . Istilah-istilah ini harus diperlakukan secara eksplisit karena mereka tidak termasuk eqn itu sendiri. Situasinya untuk $\text{[math]}$ dan $\text{[math]}$ adalah sama, sehingga turunan curl hanya bisa eksplisit.
Hal ini meninggalkan istilah-istilah berikut yang umumnya diperlakukan secara implisit:

turunan waktu $\text{[math]}$ ;
difusi (Laplacian) $\text{[math]}$ ;
adveksi $\text{[math]}$ ;
fungsi linier implisit $\text{[math]}$ , di mana $\text{[math]}$ adalah skalar.

Bab ini merincikan: diskretisasi dari istilah-istilah ini, yang umumnya diperlakukan secara implisit; dan, istilah-istilah lain seperti divergensi eqn dan gradien $\text{[math]}$ yang hanya bisa didiskritisasi secara eksplisit dalam solusi terpisah.

Lanjutan

Pilihan metode numerik menentukan bagaimana koefisien $persamaan$ dan $persamaan$ dihitung serta karakteristik persamaan matriks yang dihasilkan $persamaan$ .

Metode volume hingga, FVM, yang dijelaskan di sini berakar kuat pada konsep dasar volume kontrol, yang dijelaskan dalam Bagian. 3,1 . Ia menggunakan integral pada permukaan yang mengelilingi volume yang diterapkan pada jerat polihedral tidak beraturan, dijelaskan dalam Bagian. 3.2.

Diskritisasi dijelaskan dalam istilah operator diferensial, misalnya $persamaan$ dan $persamaan$ , yang diterapkan pada bidang umum $persamaan$ .

$GAMBAR\santai \khusus {t4ht=$

Konsep utamanya adalah bahwa permukaan di dalam jaring membentuk permukaan tertutup yang mengelilingi volume terbatas, misalnya sel tunggal. Integral permukaan apa pun yang mewakili turunan, misalnya $persamaan$ , didekati dengan penjumlahan pada permukaan ‘ $persamaan$ ‘ yang membentuk permukaan, yaitu

ZXS(dS ) ! Sf f: f \santai \khusus {t4ht=

Fluks yang terkait dengan $persamaan$ , yaitu $persamaan$ , kemudian harus dihitung. Nilai $persamaan$ diperlukan pada setiap sisi , yang harus dihitung dengan beberapa metode interpolasinilai dari $persamaan$ sel yang berdekatan dengan wajah masing-masing.

Sifat intensif dan ekstensif

Dalam bab ini, turunan dan diskritisasinya dijelaskan pada suatu titik , misalnya $persamaan$ , misalnya Persamaan. (3.8):

X r (kamu ) ! 1- ff: V f \santai \khusus {t4ht=

Menghitung turunan dengan ekspresi ini menggunakan bidang yang diketahui $persamaan$ hanya menghasilkan bidang lain (dengan nilai yang ditentukan di pusat sel, dengan satuan $persamaan$ /waktu).

Bidang yang dihasilkan adalah $persamaan$ , artinya tidak bergantung pada ukuran sistem/geometri. Seperti bidang intensif lainnya, misalnya $persamaan$ dan $persamaan$ bidang itu sendiri, bidang ini dapat digunakan dalam perhitungan lebih lanjut, misalnya dalam turunan lain atau ditambah/dikurangi dari bidang lain.

Properti ekstensif bergantung pada ukuran sistem. Misalnya, fluks volumetrik $persamaan$ yang dijelaskan dalam Sec. 3.9 tergantung pada area wajah $persamaan$ . Operasi numerik yang melibatkan properti ekstensif, misalnya penjumlahan, pengurangan, atau pemetaan ke lokasi lain, umumnya menghasilkan data yang tidak berarti.

Meskipun penghitungan turunan menghasilkan bidang intensif, persamaan matriks dibuat dalam bentuk ekstensif , dengan koefisien dan vektor sumber diskalakan berdasarkan volume sel $persamaan$ . Dengan kata lain, pada contoh diskritisasi di atas, perkalian dengan $persamaan$ akan dihilangkan.

Tidak ada $persamaan$ pengali dalam diskritisasi suku-suku yang tidak melibatkan integral permukaan, misalnya turunan waktu Persamaan. (3.21) dan istilah dalam Sec. 3.20. Untuk suku-suku tersebut, penghitungan koefisien dan sumber matriks mencakup perkalian dengan $persamaan$ .