ALIRAN DEKAT PERMUKAAN PADAT OLEH TEORI LAPISAN BATAS
FLOW NEAR SOLID SURFACES BY BOUNDARY-LAYER THEORY
Contoh aliran potensial yang dibahas di bagian sebelumnya menunjukkan cara memprediksi medan aliran menggunakan fungsi aliran dan potensi kecepatan. Solusi untuk distribusi kecepatan yang diperoleh tidak memenuhi kondisi batas “tanpa slip” pada dinding. Akibatnya, solusi aliran potensial tidak berguna untuk menggambarkan fenomena transportasi di dekat dinding. Secara khusus, gaya gesekan viskos tidak dapat diperoleh, dan deskripsi yang andal tentang transfer panas dan massa antar fase di permukaan padat juga tidak mungkin didapatkan.
Untuk menggambarkan perilaku di dekat dinding, kita menggunakan teori lapisan batas. Untuk deskripsi aliran viskos, kita memperoleh solusi perkiraan untuk komponen kecepatan dalam lapisan batas yang sangat tipis di dekat dinding, dengan mempertimbangkan viskositas. Kemudian, kita “menyamakan” solusi ini dengan solusi aliran potensial yang menggambarkan aliran di luar lapisan batas. Keberhasilan metode ini tergantung pada ketipisan lapisan batas, kondisi yang terpenuhi pada bilangan Reynolds yang tinggi.
Kita mempertimbangkan aliran dua dimensi yang mantap dari fluida dengan massa jenis μ dan viskositas ρ konstan di sekitar objek yang tenggelam, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.4-1. Kita menyatakan bahwa perubahan utama dalam kecepatan terjadi di daerah yang sangat tipis, yaitu lapisan batas, di mana efek kelengkungan tidak signifikan. Kita kemudian dapat menyusun sistem koordinat Kartesius dengan x menunjuk ke arah aliran, dan y tegak lurus terhadap permukaan padat. Persamaan kontinuitas dan persamaan Navier-Stokes kemudian menjadi:
Beberapa istilah dalam persamaan ini dapat diabaikan dengan argumen urutan besar. Kita menggunakan tiga kuantitas sebagai “ukuran”: kecepatan pendekatan v∞, beberapa dimensi linear l0 dari tubuh yang tenggelam, dan ketebalan rata-rata δ0 dari lapisan batas. Asumsi bahwa δ0 << l0 memungkinkan kita untuk melakukan beberapa perhitungan kasar berdasarkan urutan besar.
Karena vx bervariasi dari nol di permukaan padat hingga v∞ di tepi luar lapisan batas, kita dapat mengatakan bahwa
di mana O berarti “urutan besar dari.” Demikian pula, variasi maksimum dalam vx sepanjang panjang l0 dari permukaan akan menjadi v∞, sehingga
Di sini kita telah menggunakan persamaan kontinuitas untuk mendapatkan satu turunan lagi (kita hanya memperhatikan urutan besar dan bukan tanda kuantitas). Integrasi dari relasi kedua menunjukkan bahwa vy = O((δ0/l0)v∞) << vx. Berbagai istilah dalam Persamaan 4.4-2 sekarang dapat diperkirakan sebagai:
Gambar 4.4-1. Sistem koordinat untuk aliran dua dimensi di sekitar objek yang tenggelam. Ketebalan lapisan batas sangat diperbesar untuk tujuan ilustrasi. Karena lapisan batas sebenarnya cukup tipis, adalah sah untuk menggunakan koordinat segi empat secara lokal di sepanjang permukaan melengkung.
Ini menunjukkan bahwa ∂²vx/∂x² << ∂²vx/∂y², sehingga yang pertama dapat diabaikan dengan aman. Di dalam lapisan batas, diharapkan bahwa istilah di sisi kiri Persamaan 4.4-2 harus memiliki urutan besar yang sama dengan istilah di sisi kanan, dan oleh karena itu
Kedua hubungan ini menunjukkan bahwa ketebalan lapisan batas kecil dibandingkan dengan dimensi objek yang tenggelam pada aliran dengan bilangan Reynolds tinggi.
Demikian pula, dapat ditunjukkan, dengan bantuan Persamaan 4.4-7, bahwa tiga dari turunan dalam Persamaan 4.4-3 memiliki urutan besar yang sama:
Perbandingan hasil ini dengan Persamaan 4.4-6 menunjukkan bahwa ∂P/∂y << ∂P/∂x Ini berarti bahwa komponen y dari persamaan gerak tidak diperlukan dan bahwa tekanan yang dimodifikasi dapat diperlakukan sebagai fungsi dari x saja.
Sebagai hasil dari argumen urutan besar ini, kita memperoleh persamaan lapisan batas Prandtl:
Tekanan yang dimodifikasi P(x) dianggap diketahui dari solusi masalah aliran potensial yang sesuai atau dari pengukuran eksperimental.
Kondisi batas yang biasa untuk persamaan ini adalah kondisi tanpa slip (vx. = 0 pada y = 0), kondisi tanpa transfer massa dari dinding (vy = 0 pada y = 0), dan pernyataan bahwa kecepatan menyatu dengan kecepatan aliran eksternal (potensial) pada tepi luar lapisan batas (vx(x, y) → ve(x)). Fungsi ve(x) terkait dengan P(x) menurut persamaan gerak aliran potensial dalam Persamaan 4.3-5. Akibatnya, istilah –(1/p)(dP/dx) dalam Persamaan 4.4-10 dapat digantikan oleh ve(dve/dx)untuk aliran mantap. Dengan demikian, Persamaan 4.4-10 juga dapat ditulis sebagai:
Persamaan kontinuitas dapat diselesaikan untuk vy dengan menggunakan kondisi batas bahwa vy = 0 pada y = 0 (yaitu, tanpa transfer massa), dan kemudian ekspresi ini untuk vy dapat dimasukkan ke dalam Persamaan 4.4-11 untuk menghasilkan:
Ini adalah persamaan diferensial parsial untuk variabel bergantung tunggal vx.
Persamaan ini sekarang dapat dikalikan dengan ρ dan diintegrasikan dari y = 0 hingga y = ∞ untuk memberikan keseimbangan momentum van Kármán.
Di sini telah digunakan kondisi bahwa vx(x, y) → ve(x) saat y – ∞. Kuantitas di sisi kiri Persamaan 4.4-13 adalah tegangan geser yang diterapkan oleh fluida pada dinding: –τyx|y = 0.
Persamaan lapisan batas Prandtl yang asli, yaitu Persamaan 4.4-9 dan 4.4-10, telah diubah menjadi Persamaan 4.4-11, Persamaan 4.4-12, dan Persamaan 4.4-13. Salah satu dari persamaan ini dapat digunakan sebagai titik awal untuk menyelesaikan masalah lapisan batas dua dimensi. Persamaan 4.4-13, dengan ekspresi yang diasumsikan untuk profil kecepatan, adalah dasar dari banyak “solusi lapisan batas perkiraan” (lihat Contoh 4.4-1). Di sisi lain, solusi analitik atau numerik dari Persamaan 4.4-11 atau 4.4-12 disebut “solusi lapisan batas yang tepat” (lihat Contoh 4.4-2).