Aliran Fluida Tak-Viskos dengan Menggunakan Potensi Kecepatan
FLOW OF INVISCID FLUIDS BY USE OF THE VELOCITY POTENTIAL
Tentu saja, kita tahu bahwa fluida tak-viskos (yaitu fluida tanpa viskositas) sebenarnya tidak ada. Namun, persamaan gerak Euler dalam Eq. 3.5-9 terbukti berguna untuk menggambarkan aliran fluida dengan viskositas rendah pada Re >> 1 di sekitar objek ramping dan memberikan deskripsi yang cukup baik mengenai profil kecepatan, kecuali di dekat objek dan di luar garis pemisahan.
Kemudian, persamaan vortisitas dalam Eq. 3D.2-1 dapat disederhanakan dengan mengabaikan istilah yang mengandung viskositas kinematik. Jika, selain itu, aliran bersifat stabil dan dua dimensi, maka istilah ∂/∂t dan [w . ∇v] akan hilang. Ini berarti bahwa vortisitas w = [∇ x v] konstan sepanjang garis alir. Jika fluida yang mendekati objek tenggelam tidak memiliki vortisitas jauh dari objek, maka aliran akan sedemikian rupa sehingga w = [∇ x v] akan nol di seluruh bidang aliran. Dengan kata lain, aliran akan menjadi irrotasional.
Untuk merangkum, jika kita mengasumsikan bahwa ρ = konstan dan [∇ x v] = 0, maka kita dapat mengharapkan deskripsi yang cukup baik tentang aliran fluida dengan viskositas rendah di sekitar objek tenggelam dalam aliran dua dimensi. Jenis aliran ini disebut aliran potensial.
Tentu saja kita tahu bahwa deskripsi aliran ini akan tidak memadai di sekitar permukaan padat. Di dekat permukaan ini, kita menggunakan seperangkat asumsi yang berbeda, yang mengarah pada teori lapisan batas, yang dibahas dalam s4.4. Dengan menyelesaikan persamaan aliran potensial untuk “bidang jauh” dan persamaan lapisan batas untuk “bidang dekat”, lalu mencocokkan solusi secara asimtotik untuk Re besar, kita dapat mengembangkan pemahaman tentang seluruh bidang aliran di sekitar objek ramping.
Untuk menggambarkan aliran potensial, kita mulai dengan persamaan kontinuitas untuk fluida yang tidak dapat dimampatkan dan persamaan Euler untuk fluida tak-viskos (Eq. 3.5-9):Dalam persamaan gerak, kita telah menggunakan identitas vektor [v . ∇v] = ∇½v² – [v × [∇ × v]] (lihat Eq. A.4-23).
Untuk aliran dua dimensi yang tanpa putaran, pernyataan bahwa [∇ × v] = 0 adalahdan persamaan kontinuitas adalahPersamaan gerak untuk aliran tetap dan tanpa putaran dapat diintegrasikan untuk memberikanArtinya, jumlah tekanan dan energi kinetik serta energi potensial per unit volume adalah konstan di seluruh medan aliran. Ini adalah persamaan Bernoulli untuk aliran potensial yang tidak kompresibel, dan konstannya sama untuk semua garis alir. (Ini berbeda dengan Eq. 3.5-12, persamaan Bernoulli untuk fluida kompresibel dalam jenis aliran apa pun; di sana jumlah ketiga kontribusi adalah konstanta yang berbeda pada setiap garis alir.)
Kami ingin menyelesaikan Persamaan 4.3-3 hingga 5 untuk memperoleh vx, vy, dan P sebagai fungsi dari x dan y. Seperti yang telah kita lihat di bagian sebelumnya, persamaan kontinuitas dalam aliran dua dimensi dapat dipenuhi dengan menulis komponen kecepatan dalam bentuk fungsi alir ψ(x, y). Namun, vektor yang memiliki curl nol juga dapat ditulis sebagai gradien dari fungsi skalar (yaitu, ∇ × v = 0 menyiratkan bahwa v = –∇φ). Oleh karena itu, sangat nyaman untuk memperkenalkan potensi kecepatan φ(x, y). Daripada bekerja dengan komponen kecepatan vx dan vy, kita memilih untuk bekerja dengan ψ(x, y) dan φ(x, y). Kita kemudian memiliki hubungan berikut:Sekarang, Persamaan 4.3-3 dan 4.3-4 akan secara otomatis terpenuhi. Dengan menyamakan ekspresi untuk komponen kecepatan, kita mendapatkanIni adalah persamaan Cauchy-Riemann, yang merupakan hubungan yang harus dipenuhi oleh bagian nyata dan imajiner dari setiap fungsi analitik w(z) = φ(x, y) + iψ(x, y), di mana z = x + iy. Kuantitas w(z) disebut potensi kompleks. Diferensiasi Persamaan 4.3-10 terhadap x dan Persamaan 4.3-11 terhadap y, lalu menjumlahkannya, memberikan ∇²φ= 0. Mendiferensiasi dengan urutan variabel yang terbalik dan kemudian mengurangkan memberikan ∇²ψ= 0. Artinya, baik φ(x, y) maupun ψ(x, y) memenuhi persamaan Laplace dua dimensi.
Sebagai akibat dari pengembangan sebelumnya, tampaknya setiap fungsi analitik w(z) menghasilkan sepasang fungsi φ(x, y) dan ψ(x, y) yang merupakan potensi kecepatan dan fungsi aliran untuk beberapa masalah aliran. Selanjutnya, kurva φ(x, y) = konstan dan ψ(x, y) = konstan kemudian merupakan garis equipotensial dan garis aliran untuk masalah tersebut. Komponen kecepatan kemudian diperoleh dari Persamaan 4.3-6 dan 7 atau Persamaan 4.3-8 dan 9.di mana dw/dz disebut sebagai kecepatan kompleks. Setelah komponen kecepatan diketahui, tekanan yang dimodifikasi kemudian dapat ditemukan dari Persamaan 4.3-5.
Sebagai alternatif, garis equipotensial dan garis aliran dapat diperoleh dari fungsi inversi z(w) = x(φ, ψ) + iy(φ, ψ), di mana z(w) adalah fungsi analitik dari w. Di antara fungsi-fungsi x(φ, ψ) dan iy(φ, ψ), kita dapat menghilangkan ψ dan mendapatkanPenghilangan serupa dari φ memberikanMenetapkan φ = konstan dalam Persamaan 4.3-13 memberikan persamaan untuk garis potensial suatu masalah aliran, sedangkan menetapkan ψ = konstan dalam Persamaan 4.3-14 memberikan persamaan untuk garis aliran. Komponen kecepatan dapat diperoleh dari
Jadi, dari fungsi analitik w(z), atau inversnya z(w), kita dapat membangun jaringan aliran dengan garis aliran ψ = konstan dan garis potensial φ = konstan. Menemukan w(z) atau z(w) untuk memenuhi masalah aliran tertentu bisa sangat sulit. Beberapa metode khusus tersedia, tetapi sering kali lebih praktis untuk merujuk ke tabel pemetaan konformal.
Dalam dua contoh berikut, kita akan menunjukkan cara menggunakan potensi kompleks w(z) untuk menggambarkan aliran potensial di sekitar silinder, dan fungsi invers z(w) untuk menyelesaikan masalah aliran potensial ke dalam saluran. Dalam contoh ketiga, kita menyelesaikan aliran di sekitar sudut, yang dibahas lebih lanjut dalam metode lapisan batas di bab 4.4.
Beberapa komentar umum yang perlu diingat:
1. Garis aliran selalu tegak lurus terhadap garis potensial. Properti ini, yang terlihat dari Persamaan 4.3-10 dan 4.3-11, berguna untuk konstruksi jaringan aliran secara kasar.
2. Garis aliran dan garis potensial dapat dipertukarkan untuk mendapatkan solusi masalah aliran lain. Ini mengikuti dari (a) dan fakta bahwa baik φ maupun ψ adalah solusi dari persamaan Laplace dua dimensi.
3. Setiap garis aliran dapat digantikan dengan permukaan padat. Ini mengikuti dari kondisi batas bahwa komponen normal kecepatan fluida adalah nol pada permukaan padat. Komponen tangensial tidak dibatasi, karena dalam aliran potensial fluida dianggap dapat meluncur bebas di sepanjang permukaan (asumsi gesekan lengkap).
example 4.3-1; Aliran Potensial di Sekitar Silinder
(a) Tunjukkan bahwa fungsi potensial kompleks menggambarkan aliran potensial di sekitar silinder melingkar dengan jari-jari R, ketika kecepatan mendekati v∞ dalam arah positif x.(b) Temukan komponen-komponen vektor kecepatan.
(c) Temukan distribusi tekanan pada permukaan silinder, ketika tekanan modifikasi jauh dari silinder adalah P∞.
SOLUTION
(a) Untuk menemukan fungsi aliran dan potensi kecepatan, kita menulis potensi kompleks dalam bentuk w(z)=ϕ(x,y)+iψ(x,y);Jadi, fungsi aliran adalahUntuk membuat plot garis aliran, akan lebih mudah jika kita menulis Persamaan 4.3-18 dalam bentuk tak berdimensi.di mana Ψ = ψ/ν∞R, X = x/R, dan Y = y/R.
Pada Gambar 4.3-1, garis-garis aliran dipetakan sebagai kurva Ψ = konstan. Garis aliran Ψ = 0 membentuk lingkaran satuan, yang mewakili permukaan silinder. Garis aliran Ψ = – 3/2 melewati titik X = 0, Y = 2, dan seterusnya.
(b) Komponen kecepatan dapat diperoleh dari fungsi aliran dengan menggunakan Persamaan 4.3-6 dan 7. Mereka juga dapat diperoleh dari kecepatan kompleks sesuai dengan Persamaan 4.3-12, sebagai berikut:Oleh karena itu, komponen kecepatan sebagai fungsi dari posisi adalah
(c) Pada permukaan silinder, r = R, danKetika θ bernilai nol atau π, kecepatan fluida adalah nol; titik-titik tersebut dikenal sebagai titik stagnasi. Dari Persamaan 4.3-5, kita mengetahui bahwaKemudian dari dua persamaan terakhir, kita mendapatkan distribusi tekanan pada permukaan silinder.Gambar 4.3-1. Garis-garis aliran untuk aliran potensial di sekitar silinder sesuai dengan Persamaan 4.3-19.
Perhatikan bahwa distribusi tekanan yang dimodifikasi simetris terhadap sumbu x; artinya, untuk aliran potensial tidak ada gaya seret bentuk pada silinder (paradoks d’Alembert). Tentu saja, kita sekarang tahu bahwa ini sebenarnya bukan paradoks, melainkan akibat dari fakta bahwa fluida tak kental tidak memungkinkan penerapan kondisi batas tanpa slip pada antarmuka.