Aliran Potensial Panas Statis dalam Padatan
STEADY POTENTIAL FLOW OF HEAT IN SOLIDS
Aliran panas yang stabil dalam padatan dengan konduktivitas termal konstan dijelaskan oleh
Persamaan ini secara tepat sebanding dengan ungkapan untuk kecepatan dalam hal potensi kecepatan (v = -V+), dan persamaan Laplace untuk potensi kecepatan (V²Φ = 0), yang kita temui dalam 54.3. Oleh karena itu, masalah konduksi panas yang stabil dapat diselesaikan dengan penerapan teori potensi.
Untuk konduksi panas dua dimensi dalam padatan dengan konduktivitas termal konstan, suhu memenuhi persamaan Laplace dua dimensi:
Kami sekarang menggunakan fakta bahwa fungsi analitik mana pun w(z) = f(x, y) + ig(x, y) menyediakan dua fungsi skalar f dan g, yang merupakan solusi dari Persamaan 12.3-3. Kurva f = konstan dapat diartikan sebagai garis aliran panas, dan kurva g = konstan adalah isothermal yang sesuai untuk beberapa masalah aliran panas. Dua set kurva ini ortogonal—yaitu, mereka berpotongan pada sudut yang tepat. Selain itu, komponen vektor fluks panas di titik mana pun diberikan oleh
Diberikan fungsi analitik, mudah untuk menemukan masalah aliran panas yang dijelaskan olehnya. Namun, proses invers untuk menemukan fungsi analitik yang sesuai untuk masalah aliran panas tertentu umumnya sangat sulit. Beberapa metode untuk ini tersedia, tetapi berada di luar cakupan buku teks ini.
Untuk setiap fungsi kompleks w(z), dua jaring aliran panas diperoleh dengan menukar garis konstanta f dan garis konstanta g. Selain itu, dua jaring tambahan diperoleh dengan bekerja dengan fungsi invers z(w) seperti yang diilustrasikan dalam Bab 4 untuk aliran fluida ideal.
Perhatikan bahwa aliran fluida potensial dan aliran panas potensial secara matematis mirip, di mana jaring aliran dua dimensi dalam kedua kasus tersebut dijelaskan oleh fungsi analitik. Namun, secara fisik, terdapat perbedaan penting. Jaring aliran fluida yang dijelaskan dalam 54.3 adalah untuk fluida tanpa viskositas (fluida fiktif!), sehingga tidak dapat digunakan untuk menghitung gaya gesekan pada permukaan. Di sisi lain, jaring aliran panas yang dijelaskan di sini adalah untuk benda padat yang memiliki konduktivitas termal terbatas, sehingga hasilnya dapat digunakan untuk menghitung aliran panas di semua permukaan. Selain itu, komponen kecepatan (dalam koordinat Kartesius!) dari 54.3 dan profil suhu dari bagian ini memenuhi persamaan Laplace. Informasi lebih lanjut tentang proses fisik analog yang dijelaskan oleh persamaan Laplace tersedia dalam buku tentang persamaan diferensial parsial.
Di sini kami memberikan satu contoh untuk memberikan gambaran tentang penggunaan fungsi analitik; contoh lebih lanjut dapat ditemukan dalam referensi yang disebutkan.
Example 12.3-1: Distribusi Suhu dalam Dinding
Pertimbangkan sebuah dinding dengan ketebalan b yang membentang dari 0 hingga w dalam arah y, dan dari -∞ hingga +∞ dalam arah yang tegak lurus terhadap x dan y (lihat Gambar 12.3-1). Permukaan pada x = +b dijaga pada suhu T0, sedangkan bagian bawah dinding pada permukaan y = 0 dipertahankan pada suhu T1. Tunjukkan bahwa bagian imajiner dari fungsi.
memberikan distribusi suhu mantap 
SOLUTION
bagian imajiner dari w(z) dalam Persamaan 12.3-5 adalah
Di mana arctangen berada dalam rentang 0 hingga π/2. Ketika 
Persamaan 12.3-6 memberikan θ = 0, dan ketika y = 0, itu memberikan θ = (2/π) arctan = 1.
Dari Persamaan 12.3-6, fluks panas melalui dasar dinding dapat diperoleh:
