Aliran Tergantung Waktu dari Fluida Newtonian
TIME-DEPENDENT FLOW OF NEWTONIAN FLUIDS
Pada §3.6, hanya masalah keadaan tunak yang diselesaikan. Namun, dalam banyak situasi, kecepatan tergantung pada posisi dan waktu, dan aliran dijelaskan oleh persamaan diferensial parsial. Di bagian ini, kami menggambarkan tiga teknik yang banyak digunakan dalam dinamika fluida, konduksi panas, dan difusi (serta banyak cabang fisika dan teknik lainnya). Dalam setiap teknik ini, masalah menyelesaikan persamaan diferensial parsial diubah menjadi masalah menyelesaikan satu atau lebih persamaan diferensial biasa.
Contoh pertama menunjukkan metode kombinasi variabel (atau solusi kesamaan), yang berguna untuk wilayah semi-tak hingga di mana kondisi awal dan kondisi batas di tak hingga dapat digabungkan menjadi satu kondisi batas baru.
Contoh kedua menggambarkan metode pemisahan variabel, di mana persamaan diferensial parsial dibagi menjadi dua atau lebih persamaan diferensial biasa. Solusi adalah jumlah tak hingga dari produk solusi persamaan diferensial biasa ini. Persamaan ini sering dibahas dalam matematika sebagai masalah “Sturm-Liouville.”
Contoh ketiga menggunakan metode respons sinusoidal, yang berguna untuk menggambarkan bagaimana sistem merespons gangguan periodik eksternal.
Contoh-contoh ini dipilih karena kesederhanaan fisiknya, sehingga fokus utama adalah pada metode matematis. Karena semua masalah yang dibahas linier dalam kecepatan, transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menyelesaikan contoh-contoh ini.
Example 4.1-1; Aliran di Dekat Dinding yang Tiba-Tiba Digerakkan.
Sebuah badan cair semi-tak hingga dengan kepadatan dan viskositas konstan dibatasi di bawahnya oleh permukaan horizontal (bidang xz). Awalnya, cairan dan benda padat dalam keadaan diam. Kemudian pada waktu t = 0, permukaan padat mulai bergerak ke arah positif x dengan kecepatan v0v_0 seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1-1. Temukan kecepatan vv sebagai fungsi dari yy dan tt. Tidak ada gradien tekanan atau gaya gravitasi di arah x, dan aliran dianggap laminar.
SOLUTION
Untuk sistem ini, vx = vx(y, t), vy = 0, dan vz = 0. Kemudian, dari Tabel B.4 kita temukan bahwa persamaan kontinuitas sudah dipenuhi secara langsung, dan dari Tabel B.5 kita mendapatkan
di mana v = μ/ρ. Kondisi awal dan batasnya adalah
Selanjutnya, kita perkenalkan kecepatan tanpa dimensi φ = vx/v0 sehingga Persamaan 4.4-1 menjadi
dengan φ(y, 0) = 0, φ(0, t) = 1, dan φ(a, t) = 0. Karena kondisi awal dan batas hanya mengandung angka murni, solusi untuk Persamaan 4.1-5 harus berupa φ = φ(y, t; v). Namun, karena φ adalah fungsi tanpa dimensi, kuantitas y, t, dan v harus selalu muncul dalam kombinasi tanpa dimensi. Satu-satunya kombinasi tanpa dimensi dari ketiga kuantitas ini adalah y/√vt atau pangkat atau kelipatannya. Oleh karena itu, kita menyimpulkan bahwa
Ini adalah “metode kombinasi variabel (independen).” Simbol “4” disertakan agar hasil akhir pada Persamaan 4.1-14 terlihat lebih rapi; kita hanya mengetahui hal ini setelah menyelesaikan masalah tanpa simbol tersebut. Bentuk solusi pada Persamaan 4.1-6 mungkin karena tidak ada panjang atau waktu karakteristik dalam sistem fisik.
Kita sekarang mengubah turunan dalam Persamaan 4.1-5 menjadi turunan terhadap “variabel gabungan” η sebagai berikut:
Ini adalah persamaan diferensial biasa seperti yang diberikan dalam Persamaan C.1-8, dan kondisi batas yang menyertainya adalah:
Kondisi batas pertama ini sama dengan Persamaan 4.1-3, dan yang kedua mencakup Persamaan 4.1-2 dan 4. Jika sekarang kita misalkan dφ/dη = Ψ, kita akan mendapatkan persamaan terpisah orde pertama untuk Ψ, dan ini dapat diselesaikan untuk memberikan solusi.
Pilihan 0 sebagai batas bawah integral adalah arbitrer; pilihan lain akan menghasilkan nilai C2 yang berbeda, yang masih belum ditentukan. Perlu dicatat bahwa kita telah berhati-hati menggunakan tanda overbar pada variabel integrasi (η) untuk membedakannya dari η pada batas atas.
Gambar 4.1-2 menunjukkan distribusi kecepatan dalam bentuk tanpa dimensi untuk aliran di sekitar dinding yang tiba-tiba bergerak.
Penerapan dua kondisi batas memungkinkan untuk mengevaluasi dua konstanta integrasi, dan akhirnya kita memperoleh hasilnya.
Rasio integral yang muncul di sini disebut fungsi kesalahan (error function), disingkat sebagai erf η (lihat 9C.6). Ini adalah fungsi yang dikenal luas dan tersedia dalam buku pegangan matematika serta program perangkat lunak komputer. Ketika Persamaan 4.1-14 ditulis ulang dalam variabel aslinya, ia menjadi:
Dalam persamaan tersebut, erfc η disebut sebagai fungsi kesalahan komplemen (complementary error function). Plot dari Persamaan 4.1-15 ditunjukkan dalam Gambar 4.1-2. Perlu diperhatikan bahwa, dengan memplot hasil dalam bentuk kuantitas tanpa dimensi, hanya satu kurva yang dibutuhkan.
Fungsi kesalahan komplemen erfc η adalah fungsi monotone yang menurun dari 1 menjadi 0 dan turun menjadi 0,01 ketika η sekitar 2,0. Kita bisa menggunakan fakta ini untuk mendefinisikan “ketebalan lapisan batas” (boundary-layer thickness) δ sebagai jarak y di mana vx telah turun ke nilai 0,01 v0. Ini memberikan δ = 4√vt sebagai skala panjang alami untuk difusi momentum. Jarak ini merupakan ukuran seberapa jauh momentum telah “menembus ke dalam tubuh fluida”. Perlu dicatat bahwa ketebalan lapisan batas ini sebanding dengan akar kuadrat waktu yang telah berlalu.