Aliran Turbulen dalam Jet
TURBULENT FLOW IN JETS
Pada bagian sebelumnya, kita membahas aliran dalam saluran, seperti tabung melingkar; aliran-aliran tersebut merupakan contoh turbulensi dinding. Kelas utama lain dari aliran turbulen adalah turbulensi bebas, dengan contoh utama aliran ini adalah jet dan wake (jejak). Kecepatan rata-rata dalam jenis aliran ini dapat dijelaskan dengan baik menggunakan ekspresi Prandtl untuk viskositas eddy seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.4-3, atau dengan menggunakan teori panjang pencampuran Prandtl dengan empirisme yang diberikan dalam Persamaan 5.4-6. Metode pertama lebih sederhana, sehingga kami menggunakannya dalam contoh ilustratif berikut.
Example 5.6-1: Distribusi Kecepatan yang Dilapisi Waktu dalam Jet Dinding Lingkaran.
Jet fluida keluar dari lubang lingkaran ke dalam reservoir semi-tak terbatas dari fluida yang sama seperti yang digambarkan dalam Gambar 5.6-1. Dalam gambar yang sama, kami menunjukkan kira-kira seperti apa profil komponen kecepatan z. Kami mengharapkan bahwa untuk berbagai nilai z, profil-profil tersebut akan memiliki bentuk yang mirip, hanya berbeda dalam faktor skala untuk jarak dan kecepatan. Kami juga dapat membayangkan bahwa seiring dengan jet bergerak keluar, akan tercipta aliran radial bersih sehingga beberapa fluida di sekitarnya akan tertarik bersama. Kami ingin menemukan distribusi kecepatan yang dilapisi waktu dalam jet dan juga jumlah fluida yang melintasi setiap bidang dengan z konstan. Sebelum memulai solusi, mungkin berguna untuk meninjau informasi tentang jet dalam Tabel 5.1-1.
SOLUTION
Agar dapat menggunakan Persamaan 5.4-3, perlu diketahui bagaimana b dan 
bervariasi dengan z untuk jet lingkaran. Kami tahu bahwa total laju aliran momentum z, J akan sama untuk semua nilai z. Kami menganggap bahwa fluks momentum konvektif jauh lebih besar daripada fluks momentum viskos. Ini memungkinkan kami untuk mempostulatkan bahwa lebar jet b tergantung pada J, densitas ρ, dan viskositas kinematik v dari fluida, serta jarak hulu z dari dinding. Satu-satunya kombinasi variabel-variabel ini yang memiliki dimensi panjang adalah b ∞ Jz/ρv², sehingga lebar jet berbanding lurus dengan z.
Selanjutnya, kami mempostulatkan bahwa profil kecepatan bersifat “serupa,” yaitu,
yang tampaknya merupakan usulan yang masuk akal; 
adalah kecepatan sepanjang garis tengah. Ketika ini dimasukkan ke dalam ekspresi untuk laju aliran momentum dalam jet (mengabaikan kontribusi dari τxx)
Karena J tidak bergantung pada z dan karena b sebanding dengan z, maka harus berbanding terbalik dengan z.
Karena 
terjadi di tepi luar jet dan bernilai nol, maka karena b sebanding dengan z dan 
, kita dapat menyimpulkan dari Eq. 5.4-3 bahwa μ^(t) adalah konstan. Dengan demikian, kita dapat menggunakan persamaan gerakan untuk aliran laminar dan menggantikan kekentalan μ dengan kekentalan eddy μ^(t), atau v dengan v^(t). Dalam jet, gerakan utamanya adalah dalam arah z; yaitu 
Oleh karena itu, kita dapat menggunakan pendekatan lapisan batas (lihat 54.4) untuk persamaan perubahan yang dilapisi waktu dan menulis
Persamaan-persamaan ini harus diselesaikan dengan kondisi batas berikut
Kondisi batas terakhir secara otomatis dipenuhi, karena kita telah menemukan bahwa berbanding terbalik dengan z. Sekarang, kita mencari solusi untuk Persamaan 5.6-5 dengan bentuk Persamaan 5.6-1 dengan b = z.
Untuk menghindari bekerja dengan dua variabel yang bergantung, kita memperkenalkan fungsi aliran seperti yang dibahas dalam Bab 5. Untuk aliran yang simetris secara aksial, fungsi aliran didefinisikan sebagai berikut:
Definisi ini memastikan bahwa persamaan kontinuitas dalam Eq. 5.6-4 terpenuhi. Karena kita tahu bahwa vz adalah z^-1 Χ dikalikan dengan beberapa fungsi dari ξ, kita menyimpulkan dari Eq. 5.6-9 bahwa ψ harus sebanding dengan z. Selain itu, ψ harus memiliki dimensi dari (kecepatan) dikalikan dengan (panjang)², sehingga fungsi aliran harus berbentuk:
dimana F adalah fungsi tak berdimensi dari ξ = r/z. Dari Ekuasi 5.6-9 dan 10, kita kemudian mendapatkan:
Kondisi batas pertama dan kedua sekarang dapat ditulis kembali sebagai:
Jika kita mengembangkan F dalam deret Taylor sekitar ξ = 0,
Dengan demikian, kondisi batas pertama memberikan a = 0, dan kondisi batas kedua memberikan b = d = 0. Hasil ini akan kita gunakan nantinya.
Penggantian ekspresi kecepatan dari Persamaan 5.6-12 dan 13 ke dalam persamaan gerak pada Persamaan 5.6-5 akan menghasilkan persamaan diferensial orde ketiga untuk F.
Persamaan ini dapat diintegrasikan untuk menghasilkan:
dalam mana konstanta integrasi harus nol; ini dapat dilihat dengan menggunakan deret Taylor pada Eq. 5.6-16 bersama dengan fakta bahwa a, b, dan d semuanya nol
Persamaan 5.6-18 pertama kali dipecahkan oleh Schlichting. Pertama, variabel independen diubah dengan mengatur ξ = ln β. Persamaan diferensial orde kedua yang dihasilkan hanya mengandung variabel dependen dan turunan pertamanya. Persamaan jenis ini dapat dipecahkan dengan metode dasar. Integrasi pertama memberikan:
Sekali lagi, mengetahui perilaku F di dekat ξ = 0, kita menyimpulkan bahwa konstanta integrasi kedua adalah nol. Persamaan 5.6-19 kemudian merupakan persamaan orde pertama yang dapat dipisahkan, dan dapat dipecahkan untuk memberikan:
di mana C_3 adalah konstanta ketiga dari integrasi. Penggantian ini ke dalam Persamaan 5.6-12 dan 13 kemudian memberikan:
Saat substitusi ekspresi di atas untuk vz ke dalam Persamaan 5.6-2 untuk J, kita mendapatkan ekspresi untuk konstanta integrasi ketiga dalam bentuk J:
Tiga persamaan terakhir kemudian memberikan profil kecepatan yang telah dipuluskan waktu dalam hal J, ρ, dan v^(t). Kuantitas yang dapat diukur dalam aliran jet adalah posisi radial yang sesuai dengan kecepatan aksial setengah dari nilai tengah; kita sebut ini sebagai lebar setengah b_1/2. Dari Persamaan 5.6-21, kita kemudian mendapatkan:
Eksperimen menunjukkan bahwa b_1/2 = 0.0848z. Ketika nilai ini dimasukkan ke dalam Persamaan 5.6-24, ditemukan bahwa C_3 = 15.1. Dengan menggunakan nilai ini, kita dapat memperoleh viskositas turbulen v^(t) sebagai fungsi dari J dan ρ dari Persamaan 5.6-23.
Gambar 5.6-2 menunjukkan perbandingan antara profil kecepatan aksial yang diperoleh dengan data eksperimen. Kurva yang dihitung menggunakan teori panjang campur Prandtl juga ditampilkan. Kedua metode tersebut tampaknya memberikan kecocokan kurva yang cukup baik dengan profil eksperimen. Metode viskositas eddy tampaknya sedikit lebih baik di sekitar titik maksimum, sementara hasil panjang campur lebih baik di bagian luar jet.
Fig. 5.6-2. Distribusi kecepatan dalam jet melingkar pada aliran turbulen [H. Schlichting, Boundary-Layer Theory, McGraw-Hill, New York, edisi ke-7 (1979), Gambar 24.9]. Perhitungan viskositas eddy (kurva 1) dan perhitungan panjang campur Prandtl (kurva 2) dibandingkan dengan pengukuran oleh H. Reichardt [VDI Forschungsheft, 414 (1942), edisi ke-2 (1951)]. Pengukuran lebih lanjut oleh peneliti lain dikutip oleh S. Corrsin [“Turbulence: Experimental Methods,” dalam Handbuch der Physik, Vol. VIII/2 Springer, Berlin (1963)].
Fig. 5.6-3. Pola garis aliran dalam jet melingkar pada aliran turbulen [H. Schlichting, Boundary-Layer Theory, McGraw-Hill, New York, edisi ke-7 (1979), Gambar 24.10].
Setelah profil kecepatan diketahui, garis aliran dapat diperoleh. Dari garis aliran yang ditunjukkan pada Gambar 5.6-3, dapat dilihat bagaimana jet menarik fluida dari massa fluida di sekelilingnya. Oleh karena itu, laju massa fluida yang dibawa oleh jet meningkat seiring dengan jarak dari sumber. Laju massa aliran ini adalah
Hasil ini sesuai dengan entri di Tabel 5.1-1. Jet dua dimensi yang keluar dari celah tipis dapat dianalisis dengan cara serupa. Namun, dalam masalah ini, viskositas turbulen adalah fungsi dari posisi.