Analisis Dimensional dari Persamaan Perubahan
DIMENSIONAL ANALYSIS OF THE EQUATIONS OF CHANGE
Jika kita ingin menskalakan sistem eksperimen, seperti aliran melalui meter orifis di pipa, agar pola aliran yang sama tetap terjadi pada skala yang berbeda, kita harus memastikan dua hal: kesamaan geometris (rasio dimensi harus sama) dan kesamaan dinamis (kelompok tanpa dimensi seperti bilangan Reynolds harus sama). Ini dapat dilakukan dengan menulis persamaan perubahan dan kondisi batas dalam bentuk tanpa dimensi.
Untuk kesederhanaan, pembahasan ini dibatasi pada fluida dengan kepadatan dan viskositas konstan, untuk yang persamaan perubahan adalah Persamaan 3.1-5 dan 3.5-7.
Dalam sebagian besar sistem aliran, kita dapat mengidentifikasi “faktor skala” berikut: panjang karakteristik L0 kecepatan karakteristik v0, dan tekanan modifikasi karakteristik P0 = p0 + ρgh0 (misalnya, ini bisa berupa diameter tabung, kecepatan aliran rata-rata, dan tekanan modifikasi di keluar tabung). Kemudian, kita dapat mendefinisikan variabel dan operator diferensial tanpa dimensi sebagai berikut:
Kami telah menyarankan dua pilihan untuk tekanan tanpa dimensi: yang pertama nyaman untuk bilangan Reynolds tinggi dan yang kedua untuk bilangan Reynolds rendah. Ketika persamaan perubahan dalam Ekuasi 3.7-1 dan 3.7-2 ditulis ulang dalam istilah kuantitas tanpa dimensi, mereka menjadi
Dalam persamaan tanpa dimensi ini, keempat faktor skala l0, v0, ρ, dan μ muncul dalam satu kelompok tanpa dimensi. Resiprok dari kelompok ini dinamai sesuai dengan nama seorang ahli dinamika fluida terkenal.
Besarnya kelompok tanpa dimensi ini menunjukkan perbandingan antara kekuatan inersia dan kekuatan viskositas dalam sistem fluida.
Dari kedua bentuk persamaan gerakan yang diberikan di Eq. 3.7-9, kita bisa melihat bentuk khusus dari persamaan Navier-Stokes yang diberikan di Eq. 3.5. Eq. 3.7-9a memberikan persamaan Euler dari Eq. 3.5-9 saat Re besar, sementara Eq. 3.7-9b memberikan persamaan aliran merayap dari Eq. 3.5-8 saat Re sangat kecil. Daerah penerapan bentuk-bentuk asimptotik ini dan lainnya dipertimbangkan lebih lanjut dalam bab 54.3 dan 4.4. Kelompok tanpa dimensi tambahan mungkin muncul dalam kondisi awal dan batas; dua yang muncul dalam masalah dengan antarmuka fluida-fluida adalah
Kelompok tanpa dimensi pertama melibatkan percepatan gravitasi g, sedangkan yang kedua melibatkan tegangan antarmuka σ, yang dapat mempengaruhi kondisi batas. Kelompok lain mungkin juga muncul, seperti perbandingan panjang dalam sistem aliran (misalnya, rasio diameter tabung terhadap diameter lubang dalam meter orifis).
Example 3.7-1; Aliran Transversal di Sekitar Silinder Bulat.
Aliran fluida Newtonian yang tidak kompresibel di sekitar silinder bulat akan dipelajari secara eksperimental. Kami ingin mengetahui bagaimana pola aliran dan distribusi tekanan bergantung pada diameter silinder, panjangnya, kecepatan aliran mendekat, serta densitas dan viskositas fluida. Tunjukkan cara mengatur pekerjaan sehingga jumlah percobaan yang diperlukan dapat diminimalkan.
SOLUTION
Untuk analisis, kita mempertimbangkan sistem aliran yang diidealkan: sebuah silinder dengan diameter D dan panjang L, yang terendam dalam fluida yang tidak terhingga dengan densitas dan viskositas konstan. Awalnya, fluida dan silinder keduanya dalam keadaan diam. Pada waktu t = 0, silinder secara tiba-tiba digerakkan dengan kecepatan v ke arah negatif x. Gerakan fluida berikutnya dianalisis dengan menggunakan koordinat yang tetap pada sumbu silinder seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.7-1.
Persamaan diferensial yang menggambarkan aliran adalah persamaan kontinuitas (Eq. 3.7-1) dan persamaan gerak (Eq. 3.7-2). Kondisi awal untuk t = 0 adalah:
Sekarang kita menulis ulang masalah ini dalam bentuk variabel tanpa dimensi menggunakan panjang karakteristik D, kecepatan v, dan tekanan modifikasi p. Persamaan perubahan tanpa dimensi yang dihasilkan adalah
Jika kita cukup cerdas untuk dapat menyelesaikan persamaan perubahan tanpa dimensi bersama dengan kondisi batas tanpa dimensi, solusinya harus memiliki bentuk berikut:
Artinya, kecepatan tanpa dimensi dan tekanan modifikasi tanpa dimensi hanya dapat bergantung pada parameter tanpa dimensi Re dan L/D serta variabel independen tanpa dimensi x, y, z, dan t.
Analisis dimensi ini belum menyelesaikan masalah aliran, tetapi membantu menentukan variabel tanpa dimensi yang diperlukan untuk merumuskan masalah dan bentuk solusinya. Dengan mencatat pola aliran pada berbagai angka Reynolds (Re) dan rasio L/D, kita bisa menyederhanakan eksperimen tanpa perlu menyelidiki semua variabel secara terpisah. Ini menghemat waktu dan biaya.
Pada eksperimen, aliran mungkin tidak sepenuhnya stabil, terutama saat Re mendekati atau melebihi 40, di mana aliran menjadi tidak stabil dan vorteks mulai terbentuk. Dengan peningkatan Re, pola aliran berubah dari aliran teratur, vorteks yang terpisah secara teratur, hingga aliran turbulen.
Untuk memprediksi pola aliran di model skala kecil dan sistem nyata, pastikan bahwa Re sama antara keduanya. Misalnya, jika aliran di model kecil memiliki Re yang sama dengan sistem besar, pola alirannya akan mirip, meskipun kecepatannya berbeda. Vorteks akan terbentuk lebih cepat di model kecil dibandingkan dengan sistem besar, yang digunakan dalam pengukuran aliran yang akurat dalam pipa besar.
Gambar 3.7-2. Jenis-jenis perilaku aliran di sekitar silinder, menggambarkan berbagai rezim aliran yang diamati seiring dengan meningkatnya angka Reynolds. Wilayah aliran turbulen diarsir dengan warna abu-abu.