ANALISIS DIMENSIONAL DARI PERSAMAAN PERUBAHAN UNTUK SISTEM NONISOTERMAL
DIMENSIONAL ANALYSIS OF THE EQUATIONS OF CHANGE FOR NONISOTHERMAL SYSTEMS
Setelah kita menunjukkan bagaimana menggunakan persamaan perubahan untuk sistem nonisotermal guna menyelesaikan beberapa masalah perwakilan transportasi panas, kita akan membahas analisis dimensional dari persamaan-persamaan ini.
Seperti diskusi analisis dimensional dalam 3.7 yang memberikan pengantar untuk pembahasan faktor gesekan di Bab 6, materi dalam bagian ini memberikan latar belakang yang diperlukan untuk diskusi tentang korelasi koefisien perpindahan panas di Bab 14. Seperti pada Bab 3, kita menulis persamaan perubahan dan kondisi batas dalam bentuk tak berdimensi. Dengan cara ini, kita menemukan beberapa parameter tak berdimensi yang dapat digunakan untuk mengkarakterisasi sistem aliran nonisotermal.
Namun, kita akan melihat bahwa analisis sistem nonisotermal mengarah pada lebih banyak kelompok tak berdimensi daripada yang kita temukan di Bab 3. Akibatnya, lebih banyak ketergantungan pada penyederhanaan bijaksana dari persamaan perubahan dan pada model fisik yang dipilih dengan hati-hati. Contoh dari yang terakhir adalah persamaan gerak Boussinesq untuk konveksi bebas (§11.3) dan persamaan lapisan batas laminar (§12.4).
Seperti dalam 53.7, demi kesederhanaan kita membatasi diri pada fluida dengan p, k, dan tp konstan. Densitas dianggap p = p – β(T – T₀) dalam suku pg pada persamaan gerak, dan p = p di tempat lain (pendekatan Boussinesq). Maka persamaan perubahan menjadi, dengan p + ρgh diekspresikan sebagai ϕ.
Sekarang kita memperkenalkan kuantitas yang dibuat tak berdimensi dengan menggunakan kuantitas karakteristik (subskrip 0 atau 1) sebagai berikut:
Di sini, l₀, v₀, dan p₀ adalah kuantitas referensi yang diperkenalkan dalam §3.7, serta T₀ dan T₁ adalah suhu yang muncul dalam kondisi batas. Pada Eq. 11.5-2, nilai T₀ adalah suhu di sekitar mana densitas p diuraikan.
Dalam hal variabel-variabel tak berdimensi ini, persamaan perubahan dalam Eqs. 11.5-1 hingga 3 berbentuk.
Kecepatan karakteristik dapat dipilih dengan berbagai cara, dan konsekuensi dari pilihan tersebut dirangkum dalam Tabel 11.5-1. Kelompok tak berdimensi yang muncul dalam Eqs. 11.5-8 dan 9, bersama dengan beberapa kombinasi kelompok ini, dirangkum dalam Tabel 11.5-2. Kelompok tak berdimensi tambahan mungkin muncul dalam kondisi batas atau dalam persamaan keadaan. Angka Froude dan Weber telah diperkenalkan di §3.7, dan angka Mach dalam Ex. 11.4-7.
Kita telah melihat di Bab 10 bagaimana beberapa kelompok tak berdimensi muncul dalam penyelesaian masalah nonisotermal. Di sini, kita melihat bahwa kelompok-kelompok yang sama muncul secara alami ketika persamaan perubahan dibuat tak berdimensi. Kelompok tak berdimensi ini digunakan secara luas dalam korelasi koefisien perpindahan panas.
Catatan:
- Untuk konveksi paksa dan konveksi paksa-plus-alami (“intermediate”), v₀ biasanya diambil sebagai kecepatan aliran masuk (untuk aliran di sekitar objek terendam) atau kecepatan rata-rata dalam sistem (untuk aliran dalam saluran).
- Untuk konveksi alami, ada dua pilihan standar untuk v₀, yang diberi label sebagai A dan B. Dalam §10.9, Kasus A muncul secara alami. Kasus B terbukti lebih nyaman jika asumsi aliran merayap cocok, sehingga Dv/Dt dapat diabaikan (lihat Contoh 11.5-2). Kemudian, selisih tekanan tak berdimensi baru ϕ = Pru₀, berbeda dari ϕ dalam Eq. 3.7-4, dapat diperkenalkan, sehingga ketika persamaan gerak dibagi dengan Pr, satu-satunya kelompok tak berdimensi yang muncul dalam persamaan adalah GrPr. Perhatikan bahwa dalam Kasus B, tidak ada kelompok tak berdimensi yang muncul dalam persamaan energi.
Kadang-kadang berguna untuk memandang kelompok tak berdimensi sebagai perbandingan dari berbagai gaya atau efek dalam sistem, seperti yang ditunjukkan dalamTabel 11.5-3. Misalnya, suku inersia dalam persamaan gerak adalah p[v · ∇v], dan suku viskos adalah μ∇²v. Untuk mendapatkan nilai “tipikal” dari suku-suku ini, gantikan variabel-variabel tersebut dengan tolok ukur karakteristik yang digunakan dalam membentuk variabel tak berdimensi. Dengan demikian, gantikan p[v · ∇v] dengan p(v₀²/l₀), dan gantikan μ∇²v dengan μv₀/l₀² untuk mendapatkan perkiraan urutan besarnya. Rasio dari kedua suku ini kemudian memberikan angka Reynolds, seperti yang ditunjukkan dalam tabel. Kelompok tak berdimensi lainnya diperoleh dengan cara yang serupa.
Nilai rendah untuk angka Reynolds berarti gaya viskos lebih besar dibandingkan dengan gaya inersia. Nilai rendah untuk angka Brinkman menunjukkan bahwa panas yang dihasilkan oleh disipasi viskos dapat dipindahkan dengan cepat oleh konduksi panas. Ketika Gr/Re² besar, gaya apung penting dalam menentukan pola aliran.
Karena analisis dimensi adalah seni yang memerlukan penilaian dan pengalaman, kami memberikan tiga contoh ilustratif. Pada dua contoh pertama, kami menganalisis konveksi paksa dan alami dalam geometri sederhana. Pada contoh ketiga, kami membahas masalah peningkatan skala dalam peralatan yang relatif kompleks.
Example 11.5-1: Distribusi Suhu di Sekitar Silinder Panjang
Dikehendaki untuk memprediksi distribusi suhu dalam gas yang mengalir di sekitar silinder panjang yang didinginkan dari dalam (sistem I) dari pengukuran eksperimental pada model skala seperempat (sistem II). Jika memungkinkan, fluida yang sama harus digunakan dalam model seperti dalam sistem skala penuh. Sistem ini, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 11.5-1, adalah sama dengan yang ada di Contoh 3.7-1 kecuali bahwa sekarang tidak isotermal. Fluida yang mendekati silinder memiliki kecepatan v₀ dan suhu T₀, dan permukaan silinder dipertahankan pada T_s, misalnya, dengan mendidihnya refrigeran yang terkandung di dalamnya.
Tunjukkan melalui analisis dimensi bagaimana kondisi eksperimental yang sesuai dapat dipilih untuk studi model. Lakukan analisis dimensi untuk “kasus intermediate” dalam Tabel 11.5-1.
SOLUTION
Kedua sistem, I dan II, secara geometris mirip. Untuk memastikan kesamaan dinamis, seperti yang disebutkan dalam 53.7, persamaan diferensial tak berdimensi dan kondisi batas harus sama, dan kelompok tak berdimensi yang muncul di dalamnya harus memiliki nilai numerik yang sama.
Di sini, kami memilih panjang karakteristik menjadi diameter D silinder, kecepatan karakteristik menjadi kecepatan mendekat v₀ fluida, tekanan karakteristik menjadi tekanan pada x = -∞ dan y = 0, dan suhu karakteristik menjadi suhu T₀ dari fluida yang mendekat dan suhu T_s dari dinding silinder. Kuantitas karakteristik ini akan diberi label I atau II sesuai dengan sistem yang dijelaskan.
Kedua sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial tak berdimensi yang diberikan dalam Eqs. 11.5-7 hingga 9, dan oleh kondisi batas.
di mana 
Untuk geometri sederhana ini, kondisi batas tidak mengandung kelompok tak berdimensi. Oleh karena itu, syarat bahwa persamaan diferensial dan kondisi batas dalam bentuk tak berdimensi harus identik adalah bahwa kelompok tak berdimensi berikut harus sama di kedua sistem: 
dan 
Dalam kelompok terakhir, kami menggunakan ekspresi gas ideal 
Untuk memperoleh kesetaraan yang diperlukan untuk empat kelompok tak berdimensi yang mengatur, kita dapat menggunakan nilai yang berbeda dari empat parameter yang tersedia dalam dua sistem: kecepatan aliran v₀, suhu fluida T₀, tekanan aliran P₀, dan suhu silinder T₁.
Persyaratan kesamaan kemudian adalah (untuk D₁ = 4D₂):
Di sini, v = μ/ρ adalah viskositas kinematik dan α = k/(ρC) adalah difusivitas termal. Cara paling sederhana untuk memenuhi Eq. 11.5-13 adalah dengan menggunakan fluida yang sama pada tekanan aliran P₀ dan suhu T₀ yang sama dalam kedua sistem. Jika itu dilakukan, Eq. 11.5-14 mengharuskan kecepatan aliran dalam model kecil (D₂) menjadi empat kali lipat dari yang digunakan dalam sistem skala penuh (D₁).
Jika kecepatan fluida cukup besar dan perbedaan suhu kecil, kesetaraan Pr dan Re dalam kedua sistem memberikan perkiraan yang cukup untuk kesamaan dinamis. Ini adalah kasus batas konveksi paksa dengan disipasi viskos yang dapat diabaikan.
Namun, jika perbedaan suhu T₁ – T₀ besar, efek konveksi alami mungkin cukup signifikan. Dalam kondisi ini, menurut Eq. 11.5-15, perbedaan suhu dalam model harus 64 kali lipat dari yang ada dalam sistem besar untuk memastikan kesamaan.
Dari Eq. 11.5-16, dapat dilihat bahwa rasio perbedaan suhu semacam itu tidak akan memungkinkan kesetaraan Brinkman number. Untuk yang terakhir, rasio 16 diperlukan. Namun, konflik ini biasanya tidak muncul, karena efek konveksi alami dan pemanasan viskos jarang penting secara bersamaan. Efek konveksi alami muncul dalam sistem dengan kecepatan rendah, sementara pemanasan viskos terjadi secara signifikan hanya ketika gradien kecepatan sangat besar.