Bentuk Khusus dari Persamaan Energi
SPECIAL FORMS OF THE ENERGY EQUATION
Bentuk persamaan energi yang paling berguna adalah yang menampilkan suhu. Tujuan dari bagian ini adalah untuk mencapai persamaan semacam itu, yang dapat digunakan untuk memprediksi profil suhu.
Pertama, kita mengurangkan persamaan energi mekanik dalam Eq. 3.3-1 dari persamaan energi di 11.1-7. Ini menghasilkan persamaan perubahan untuk energi internal sebagai berikut:
Dalam persamaan energi mekanik (Eq. 3.3-1) dan energi internal (Eq. 11.2-1), terdapat istilah p(∇·v) dan (T:∇v), tetapi dengan tanda berlawanan. Kedua istilah ini menggambarkan konversi antara energi mekanik dan energi termal. Istilah p(∇·v) dapat positif atau negatif, bergantung pada apakah fluida mengembang atau menyusut, yang menunjukkan pertukaran yang dapat dibalik. Namun, untuk fluida Newtonian, -(T:∇v) selalu positif dan merepresentasikan degradasi energi mekanik menjadi energi internal yang tidak dapat dibalik. Pada fluida viskoelastik, -(T:∇v) tidak harus positif karena sebagian energi dapat disimpan sebagai energi elastis.
Kami menunjukkan pada §3.5 bahwa persamaan perubahan dapat ditulis dengan lebih ringkas dengan menggunakan turunan substansial (lihat Tabel 3.5-1). Persamaan 11.2-1 dapat ditulis dalam bentuk turunan substansial dengan menggunakan Persamaan 3.5-4. Ini memberikan hasil tanpa asumsi lebih lanjut.
Selanjutnya, akan lebih mudah untuk beralih dari energi internal ke entalpi, seperti yang kita lakukan di akhir §9.8. Artinya, dalam Persamaan 11.2-2, kita menetapkan U = H – pV = H – (p/ρ), dengan asumsi standar bahwa rumus termodinamika yang diturunkan dari termodinamika kesetimbangan dapat diterapkan secara lokal pada sistem yang tidak dalam kesetimbangan. Ketika kita mengganti rumus ini ke dalam Persamaan 11.2-2 dan menggunakan persamaan kontinuitas (Persamaan A dari Tabel 3.5-1), kita mendapatkan:
Dengan menggunakan Persamaan 9.8-7, yang mengasumsikan bahwa entalpi merupakan fungsi dari tekanan p dan suhu T (ini membatasi pengembangan selanjutnya pada fluida Newtonian), kita bisa mendapatkan ekspresi untuk perubahan entalpi dalam elemen fluida yang bergerak dengan kecepatan fluida, yaitu:
Menyamakan sisi kanan dari Persamaan 11.2-3 dan 11.2-4 menghasilkan:
Ini adalah persamaan perubahan untuk suhu, dalam istilah vektor fluks panas q dan tensor fluks momentum viskos T. Untuk menggunakan persamaan ini, kita memerlukan ekspresi untuk fluks-fluks tersebut.
(i) Ketika hukum Fourier dari Eq. 9.1-4 digunakan, istilah – (V . q) menjadi +(V .(k∇ T), atau, jika konduktivitas termal diasumsikan konstan, +k∇²T.
(ii) Ketika hukum Newton dari Eq. 1.2-7 digunakan, istilah – (τ.∇v) menjadi 
, kuantitas yang dinyatakan secara eksplisit dalam Eq. 3.3-3.
Kami tidak melakukan substitusi di sini, karena persamaan perubahan untuk suhu hampir tidak pernah digunakan dalam generalitas penuhnya. Sekarang kami membahas beberapa versi khusus yang dibatasi dari persamaan perubahan untuk suhu. Dalam semua versi ini, kami menggunakan hukum Fourier dengan k konstan, dan kami menghilangkan istilah disipasi viskos, karena istilah ini hanya penting dalam aliran dengan gradien kecepatan yang sangat besar.
(i) Untuk gas ideal, ∂ ln ρ/∂ ln T = -1, dan
Atau, jika digunakan hubungan 
persamaan keadaan dalam bentuk ρM = ρRT, dan persamaan kontinuitas seperti yang dituliskan dalam Eq. A pada Tabel 3.5-1, kita mendapatkan.
(ii) Untuk fluida yang mengalir dalam sistem tekanan konstan, Dp/Dt = 0, dan.
(iii) Untuk fluida dengan densitas konstan, 
dan.
(iv) Untuk benda padat yang stasioner, v = 0, dan
Lima persamaan terakhir ini adalah yang paling sering dijumpai dalam buku teks dan publikasi penelitian. Tentu saja, seseorang selalu dapat kembali ke Eq. 11.2-5 dan mengembangkan persamaan yang kurang ketat jika diperlukan. Selain itu, seseorang dapat menambahkan istilah sumber kimia, listrik, dan nuklir secara ad hoc, seperti yang dilakukan dalam Bab 10.
Persamaan 11.2-10 adalah persamaan konduksi panas untuk benda padat, dan banyak telah ditulis tentang persamaan terkenal ini yang pertama kali dikembangkan oleh Fourier. Karya referensi terkenal oleh Carslaw dan Jaeger pantas untuk disebutkan secara khusus. Karya tersebut berisi ratusan solusi dari persamaan ini untuk berbagai kondisi batas dan kondisi awal.