DIFUSI BERGANTUNG WAKTU
TIME-DEPENDENT DIFFUSION
Pada bagian ini, kami memberikan empat contoh difusi bergantung waktu. Contoh pertama membahas penguapan cairan volatil dan mengilustrasikan penyimpangan dari hukum kedua Fick yang muncul pada laju transfer massa yang tinggi. Contoh kedua dan ketiga membahas difusi keadaan tak tunak dengan reaksi kimia. Pada contoh terakhir, kami meneliti peran perubahan area antarmuka dalam difusi. Metode kombinasi variabel digunakan pada Contoh 20.1-1, 2, dan 4, sedangkan transformasi Laplace digunakan pada Contoh 20.1-3.
Example 20.1-1: Penguapan Cairan dalam Keadaan Tak Tunak (Masalah “Arnold”)
Kita ingin memprediksi laju penguapan cairan volatil A ke dalam zat murni B di dalam tabung dengan panjang tak terhingga. Ketinggian cairan dipertahankan pada z = 0 setiap saat. Suhu dan tekanan dianggap tetap, dan uap A dan B membentuk campuran gas ideal. Oleh karena itu, densitas molar c dianggap konstan di seluruh fase gas, dan koefisien difusi D_AB dapat dianggap konstan. Selain itu, diasumsikan bahwa spesies B tidak larut dalam cairan A, dan kecepatan rata-rata molar dalam fase gas tidak bergantung pada koordinat radial.
SOLUTION
Untuk sistem ini, persamaan kontinuitas untuk campuran, yang diberikan dalam Persamaan 19.1-12, menjadi:
di mana v adalah komponen z dari kecepatan rata-rata molar. Integrasi terhadap z memberikan:
Di sini dan di bagian lain dalam masalah ini, indeks “0” menunjukkan kuantitas yang dievaluasi pada z = 0. Menurut Persamaan (M) dari Tabel 17.8-1, kecepatan ini dapat dituliskan dalam bentuk fluks molar A dan B sebagai:
Namun, N_B adalah nol karena ketidaklarutan spesies B dalam cairan A. Maka, penggunaan Persamaan (D) dari Tabel 17.8-2 akhirnya memberikan:
di mana X_A0 adalah konsentrasi fase gas antarmuka, yang dievaluasi di sini dengan asumsi kesetimbangan antarmuka. Untuk campuran gas ideal, ini sama dengan tekanan uap zat murni A dibagi dengan tekanan total.
Persamaan kontinuitas dari Persamaan 19.1-17 kemudian menjadi:
Ini harus diselesaikan dengan kondisi awal dan batas sebagai berikut:
Kita dapat mencoba kombinasi variabel yang sama seperti yang digunakan dalam Contoh 4.1-1; yaitu, X = 
Namun, karena Persamaan 20.1-5 mengandung parameter x_{A0}, kita dapat mengantisipasi bahwa X akan bergantung tidak hanya pada Z tetapi juga secara parametris pada x_{A0}.
Dalam istilah variabel tanpa dimensi ini, Persamaan 20.1-5 dapat dituliskan sebagai:
Di sini, kuantitas
adalah kecepatan rata-rata molar tanpa dimensi, 
, seperti yang dapat dilihat dengan membandingkan Persamaan 20.1-10 dan 20.1-4. Kondisi awal dan batas dalam Persamaan 20.1-6 hingga 20.1-8 sekarang menjadi:
Persamaan 20.1-9 dapat diatasi dengan terlebih dahulu membiarkan dX/dZ = Y. Ini memberikan persamaan diferensial orde pertama untuk Y yang dapat diselesaikan untuk mendapatkan:
Ini memberikan hasil setelah integrasi:
Menggabungkan hasil ini dengan Persamaan 20.1-11 dan 20.1-12, kita mendapatkan:
Kemudian kita menggunakan definisi dari fungsi kesalahan dan beberapa sifat dari fungsi ini, khususnya, 
(lihat 5C.6). Ini mengarah pada ekspresi akhir untuk distribusi fraksi mol:
Untuk mendapatkan fungsi 
distribusi fraksi mol ini harus disubstitusikan ke dalam Persamaan 20.1-10. Ini memberikan:
Daripada menyelesaikan ini untuk mendapatkan (D sebagai fungsi dari xₐₒ, lebih mudah untuk mengevaluasi xₐₒ sebagai fungsi dari θ:
Tabel kecil p(xₐₒ) diberikan dalam Tabel 20.1-1, dan profil konsentrasi ditunjukkan dalam Gambar 20.1-1.
Kita sekarang dapat menghitung laju produksi uap dari permukaan dengan luas S. Jika Vₐ adalah volume A yang dihasilkan melalui penguapan hingga waktu t, maka
Gambar 20.1-1. Profil konsentrasi dalam penguapan yang bergantung pada waktu, menunjukkan bahwa deviasi dari hukum Fick meningkat seiring dengan volatilitas cairan yang menguap.
Integrasi sehubungan dengan t kemudian memberikan
Hubungan ini dapat digunakan untuk menghitung difusivitas dari laju penguapan (lihat Masalah 20A.1).
Sekarang kita dapat menilai pentingnya memasukkan transportasi konvektif spesies A dalam tabung. Jika hukum kedua Fick (Eq. 19.1-18) digunakan untuk menentukan X, kita akan memperoleh
Dengan demikian, kita dapat menulis ulang Eq. 20.1-20 sebagai
Faktor 
yang terdaftar dalam Tabel 20.1-1, adalah koreksi untuk deviasi dari hasil hukum Fick yang disebabkan oleh kecepatan rata-rata molar yang tidak nol. Kita melihat bahwa deviasi ini menjadi sangat signifikan ketika xₐₒ besar—yaitu, untuk cairan dengan volatilitas besar.
Dalam analisis sebelumnya, diasumsikan bahwa sistem bersifat isotermal. Sebenarnya, antarmuka akan didinginkan oleh penguapan, terutama pada nilai xₐₒ yang besar. Efek ini dapat diminimalkan dengan menggunakan tabung berdiameter kecil yang terbuat dari konduktor termal yang baik. Namun, untuk aplikasi pada sistem perpindahan massa lainnya, analisis yang diberikan di sini perlu diperluas dengan menyertakan solusi untuk persamaan energi, sehingga suhu dan komposisi antarmuka dapat dihitung (lihat Masalah 20B.2).
Analisis ini dapat diperluas untuk mencakup transfer antar fase dari kedua spesies, dengan rasio fluks Nₐ₂₀/Nᵦ₂₀ yang tidak bergantung waktu dan komposisi gas awal xₐ. Contoh sederhana dari sistem seperti itu adalah reaksi terkontrol difusi 2A → B pada padatan katalitik di z = 0, dengan panas reaksi dihilangkan melalui padatan. Profil konsentrasi adalah generalisasi dari yang ada dalam Eq. 20.1-16:
Fluks tak berdimensi cp sekarang bergantung pada Xₐₒ, Xₐₘ, dan rasio Nₐₘ/Nₐzₒ:
Hubungan antara fluks antarmuka dan komposisi terminal adalah
Persamaan 20.1-16, 10, dan 18 termasuk sebagai kasus khusus dari tiga persamaan terakhir. Persamaan terakhir adalah hasil kunci untuk perhitungan perpindahan massa (lihat 22.8).
Example 20,1-2: Absorpsi gas dengan reaksi cepat
Gas A diserap oleh pelarut cairan stasioner S, yang mengandung zat terlarut B. Spesies A bereaksi dengan B dalam reaksi tak balik instan sesuai dengan persamaan aA + bB → Produk. Diasumsikan bahwa hukum kedua Fick secara memadai menggambarkan proses difusi, karena A, B, dan produk reaksi hadir dalam S dalam konsentrasi rendah. Dapatkan ekspresi untuk profil konsentrasi.
SOLUTION
Karena reaksi instan antara A dan B, akan ada sebuah bidang yang sejajar dengan antarmuka cairan-uap pada jarak z₁ darinya, yang memisahkan wilayah yang tidak mengandung A dari wilayah yang tidak mengandung B. Jarak z₁ adalah fungsi dari t, karena batas antara A dan B mundur saat B habis dalam reaksi kimia. Persamaan diferensial untuk cₐ dan cᵦ adalah
Persamaan-persamaan ini harus diselesaikan dengan kondisi awal dan batas berikut:
Di sini, cₐ adalah konsentrasi antarmuka A, dan cᵦ₀ adalah konsentrasi awal B. Kondisi batas keempat adalah persyaratan stoikiometri bahwa a mol A mengonsumsi b mol B (lihat Masalah 20B.2).
Tidak adanya panjang karakteristik dalam masalah ini, dan fakta bahwa cₐ = cᵦ₀ baik pada t = 0 maupun z = ∞, menyarankan untuk mencoba kombinasi variabel. Perbandingan dengan contoh sebelumnya (tanpa suku v) menyarankan solusi percobaan berikut:
Fungsi-fungsi ini memenuhi persamaan diferensial, dan jika konstanta integrasi C₁ hingga C₄ dapat dipilih sedemikian rupa sehingga kondisi awal dan batas terpenuhi, kita akan mendapatkan solusi lengkap untuk masalah ini.
Penerapan kondisi awal dan tiga kondisi batas pertama memungkinkan evaluasi konstanta integrasi dalam istilah zᵣ(t), sehingga menghasilkan
Kondisi batas B.C. 5 kemudian secara otomatis terpenuhi. Akhirnya, memasukkan solusi ini ke dalam B.C. 4 menghasilkan persamaan implisit berikut dari mana zᵣ(t) dapat diperoleh:
Di sini, y adalah konstanta yang sama dengan zᵣ/4t. Dengan demikian, zᵣ meningkat seiring dengan V.
Untuk menghitung profil konsentrasi, pertama-tama kita menyelesaikan Eq. 20.1-37 untuk G, dan kemudian memasukkan nilai ini untuk z₁/φ dalam Eqs. 20.1-35 dan 36. Beberapa profil konsentrasi yang dihitung ditunjukkan dalam Gambar 20.1-2 (untuk a = b), untuk menggambarkan laju pergerakan zona reaksi. Dari profil konsentrasi, kita dapat menghitung laju perpindahan massa di antarmuka:
Laju rata-rata penyerapan hingga waktu t adalah:
Oleh karena itu, laju rata-rata hingga waktu t adalah dua kali laju instan.