Difusi ke dalam film cairan jatuh (absorpsi gas)
DIFFUSION INTO A FALLING LIQUID FILM (GAS ABSORPTION)
Dalam bagian ini, kami menyajikan ilustrasi perpindahan massa dengan konveksi paksa, di mana aliran viskos dan difusi terjadi dalam kondisi di mana medan kecepatan dapat dianggap hampir tidak terpengaruh oleh difusi. Secara khusus, kami mempertimbangkan penyerapan gas A oleh film laminar cairan B yang jatuh. Zat A hanya sedikit larut dalam B, sehingga viskositas cairan tidak terpengaruh. Kami juga akan membatasi bahwa difusi terjadi sangat lambat di dalam film cair sehingga A tidak akan “menembus” jauh ke dalam film—artinya jarak penetrasi akan kecil dibandingkan dengan ketebalan film. Sistem ini digambarkan dalam Gambar 18.5-1. Contoh sistem semacam ini terjadi dalam penyerapan O₂ di H₂O.
Sekarang mari kita susun persamaan diferensial yang menggambarkan proses difusi. Pertama, kita harus menyelesaikan masalah perpindahan momentum untuk mendapatkan profil kecepatan vₓ(z) untuk film; ini telah dikerjakan dalam 2.2 tanpa adanya perpindahan massa di permukaan fluida, dan kita tahu bahwa hasilnya adalah
dengan mengabaikan “efek ujung.”
Selanjutnya, kita harus menetapkan keseimbangan massa pada komponen A. Kita mencatat bahwa konsentrasi cₐ akan berubah baik dengan x maupun z. Oleh karena itu, sebagai elemen volume untuk keseimbangan massa, kita memilih volume yang dibentuk oleh irisan dengan ketebalan Δz dan irisan dengan ketebalan Δx. Kemudian keseimbangan massa pada A di sepanjang segmen film dengan lebar W menjadi
Dengan membagi dengan W Δx Δz dan melakukan proses limitasi biasa ketika elemen volume menjadi sangat kecil, kita memperoleh
Ke dalam persamaan ini kita sekarang memasukkan ekspresi untuk Nₐ dan Nₐz, dengan menyederhanakan Eq. 18.0-1. Untuk fluks molar dalam arah z, kita tuliskan, dengan asumsi c konstan,
Kita mengabaikan suku yang digarisbawahi karena transportasi A dalam arah z akan terutama terjadi melalui konveksi. Kita telah menggunakan Eq. (M) pada Table 17.8-1 dan fakta bahwa kecepatan v hampir sama dengan vᵥ dalam larutan encer. Fluks molar dalam arah x adalah
Di sini kita mengabaikan suku yang digarisbawahi karena dalam arah x, A bergerak terutama melalui difusi, hampir tidak ada transportasi konvektif yang tegak lurus terhadap dinding karena kelarutan A yang sangat kecil dalam B. Dengan menggabungkan tiga persamaan terakhir, kita kemudian memperoleh, untuk q₀ konstan,
Akhirnya, dengan memasukkan Eq. 18.5-1 untuk distribusi kecepatan, kita mendapatkan
sebagai persamaan diferensial untuk cₐ(x, z).
Eq. 18.5-7 harus diselesaikan dengan kondisi batas berikut:
Kondisi batas pertama berkaitan dengan fakta bahwa film terdiri dari B murni di bagian atas (Z = 0), dan yang kedua menunjukkan bahwa pada antarmuka cair-gas, konsentrasi A ditentukan oleh kelarutan A dalam B (yaitu, cₐ₀). Kondisi batas ketiga menyatakan bahwa A tidak dapat berdifusi melalui dinding padat. Masalah ini telah diselesaikan secara analitis dalam bentuk deret tak hingga, namun solusi tersebut tidak diberikan di sini. Sebagai gantinya, kami hanya mencari ekspresi batas yang berlaku untuk “waktu kontak singkat,” yaitu untuk nilai kecil dari L/vₘₐₓ.
Jika, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 18.5-1, zat A hanya menembus jarak pendek ke dalam film, maka spesies A “merasakan” bahwa film bergerak dengan kecepatan yang setara dengan vₘₐₓ. Selanjutnya, jika A tidak menembus sangat jauh, ia tidak “merasakan” keberadaan dinding padat pada x = δ. Oleh karena itu, jika film memiliki ketebalan tak hingga dan bergerak dengan kecepatan vₘₐₓ, material yang berdifusi “tidak akan merasakan perbedaan.” Argumen fisik ini menunjukkan (dengan benar) bahwa kita akan mendapatkan hasil yang sangat baik jika kita menggantikan Eq. 18.5-7 dan kondisi batasnya dengan
Masalah yang sepenuhnya analog terjadi dalam Contoh 4.1-1, yang diselesaikan dengan metode kombinasi variabel. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk mengambil solusi dari masalah tersebut hanya dengan mengubah notasi. Solusinya adalah
Dalam ekspresi ini, “erf x” dan “erfc x” adalah “fungsi kesalahan” dan “fungsi kesalahan komplementer” dari x, masing-masing. Mereka dibahas dalam gC.6 dan terdaftar dalam karya referensi standar.
Setelah profil konsentrasi diketahui, fluks massa lokal di antarmuka gas-cair dapat ditemukan sebagai berikut:
Kemudian, aliran molar total A yang melintasi permukaan pada x = 0 (yaitu, yang diserap oleh film cair dengan panjang L dan lebar W) adalah
Hasil yang sama diperoleh dengan mengintegrasikan produk vₘₐₓ cₐ di seluruh penampang aliran pada z = L (lihat Problem 18C.3).
Eq. 18.5-18 menunjukkan bahwa laju perpindahan massa secara langsung berbanding lurus dengan akar kuadrat difusivitas dan berbanding terbalik dengan akar kuadrat dari “waktu paparan,” tₑₓₚ = L/vₘₐₓ. Pendekatan ini untuk mempelajari penyerapan gas tampaknya pertama kali diusulkan oleh Higbie.
Masalah yang dibahas dalam bagian ini mengilustrasikan “model penetrasi” dari perpindahan massa. Model ini dibahas lebih lanjut di Bab 20 dan 22.
Example 18.5-1: Penyerapan Gas dari Gelembung yang Naik
Estimasi laju di mana gelembung gas A diserap oleh cairan B saat gelembung gas naik dengan kecepatan terminal v melalui cairan tenang yang bersih.
SOLUTION
Gelembung gas berukuran sedang, yang naik dalam cairan bebas agen aktif permukaan, mengalami sirkulasi toroidal (sirkulasi Rybczynski-Hadamard) seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 18.5-2. Cairan bergerak ke bawah relatif terhadap setiap gelembung yang naik, diperkaya dengan spesies A di dekat antarmuka, mirip dengan film jatuh dalam Gambar 18.5-1. Kedalaman penetrasi gas terlarut ke dalam cairan sangat sedikit di sebagian besar gelembung, karena gerakan cairan relatif terhadap gelembung dan karena kecilnya difusivitas fase cair DₐB.
Dengan demikian, sebagai pendekatan kasar, kita dapat menggunakan Eq. 18.5-18 untuk memperkirakan laju penyerapan gas, menggantikan waktu paparan tₑₓₚ = L/vₘₐₓ untuk film jatuh dengan D/vₑ untuk gelembung, di mana D adalah diameter gelembung saat ini. Ini memberikan estimasi laju penyerapan molar, dirata-ratakan di seluruh permukaan gelembung, sebagai
Di sini, cₐ₀ adalah kelarutan gas A dalam cairan B pada suhu antarmuka dan tekanan parsial gas A. Menariknya, hasil dalam Eq. 18.5-19 ternyata benar untuk aliran potensial cairan di sekitar gelembung (lihat Problem 4B.5). Persamaan ini telah dikonfirmasi secara aproximatif untuk gelembung gas berdiameter 0.3 hingga 0.5 cm yang naik melalui air yang sangat murni. Sistem ini juga telah dianalisis untuk aliran merayap, dan hasilnya adalah (lihat Contoh 20.3-1)
alih-alih Eq. 18.5-19.
Kandungan jejak agen aktif permukaan menyebabkan penurunan laju penyerapan yang signifikan dari gelembung kecil, dengan membentuk “kulit” di sekitar setiap gelembung dan dengan demikian secara efektif mencegah sirkulasi internal. Laju penyerapan molar dalam batas difusivitas kecil kemudian menjadi berbanding lurus dengan pangkat 3/2 dari difusivitas, seperti pada bola padat (lihat 3522.2 dan 3). Pendekatan serupa telah digunakan dengan sukses untuk memprediksi laju perpindahan massa selama pembentukan tetesan di ujung kapiler.
Gambar 18.6-1. Padatan A terlarut ke dalam film cairan B yang jatuh, bergerak dengan profil kecepatan parabolik yang sepenuhnya terdevelop.