Difusi melalui film gas yang diam
DIFFUSION THROUGH A STAGNANT GAS FILM
Mari kita analisis sistem difusi yang ditunjukkan pada Gambar 8.2-1 di mana cairan A menguap ke dalam gas B. Kami membayangkan ada perangkat yang menjaga tingkat cairan pada z = 2. Tepat di antarmuka cairan-gas, konsentrasi fase gas A, yang dinyatakan sebagai fraksi mol, adalah xₐₗ. Ini dianggap sebagai konsentrasi fase gas A yang sesuai dengan kesetimbangan dengan cairan di antarmuka. Artinya, xₐₗ adalah tekanan uap A dibagi dengan tekanan total, pₓₗ/p, dengan asumsi bahwa A dan B membentuk campuran gas ideal dan bahwa kelarutan gas B dalam cairan A dapat diabaikan.
Gambar 18.2-1. Difusi keadaan tunak A melalui B yang diam dengan antarmuka cairan-uap dipertahankan pada posisi tetap. Grafik menunjukkan bagaimana profil konsentrasi menyimpang dari garis lurus karena kontribusi konvektif terhadap fluks massa.
Sebuah aliran campuran gas A-B dengan konsentrasi Xₐ₂ mengalir perlahan di atas tabung, untuk mempertahankan fraksi mol A pada x₂ untuk z = z₂. Seluruh sistem dijaga pada suhu dan tekanan konstan. Gas A dan B diasumsikan sebagai gas ideal. Kami tahu bahwa akan ada aliran bersih gas ke atas dari antarmuka gas-cair, dan bahwa kecepatan gas di dinding silinder akan lebih kecil dibandingkan di pusat tabung. Untuk menyederhanakan masalah, kami mengabaikan efek ini dan mengasumsikan bahwa tidak ada ketergantungan komponen z dari kecepatan terhadap koordinat radial.
Ketika sistem penguapan ini mencapai keadaan tunak, ada gerakan bersih A menjauh dari antarmuka dan spesies B tetap diam. Oleh karena itu, fluks molar A diberikan oleh Eq. 17.0-1 dengan Nₐᶻ = 0. Menyelesaikan untuk Nₐᶻ, kita mendapatkan:
Sebuah neraca massa keadaan tunak (dalam unit molar) di atas increment Δz kolom menyatakan bahwa jumlah A yang masuk pada bidang z sama dengan jumlah A yang keluar pada bidang z + Δz:
Di sini S adalah luas penampang kolom. Pembagian dengan SAz dan mengambil limit saat Δz → 0 menghasilkan:
Substitusi Eq. 18.2-1 ke dalam Eq. 18.2-3 memberikan:
Untuk campuran gas ideal, persamaan keadaan adalah p = cRT, sehingga pada suhu dan tekanan konstan, c harus merupakan konstanta. Selain itu, untuk gas Dₐ𝑏 sangat hampir tidak bergantung pada komposisi. Oleh karena itu, dapat dipindahkan ke kiri operator turunan untuk mendapatkan:
Ini adalah persamaan diferensial orde kedua untuk profil konsentrasi yang dinyatakan sebagai fraksi mol A. Integrasi terhadap z memberikan:
Integrasi kedua kemudian memberikan:
Jika kita mengganti C₁ dengan -ln K₁ dan C₂ dengan -ln K₂, Eq. 18.2-7 menjadi:
Dua konstanta integrasi, K₁ dan K₂, kemudian dapat ditentukan dari kondisi batas:
Setelah konstanta diperoleh, akhirnya kita mendapatkan:
Profil untuk gas B diperoleh dengan menggunakan xB = 1 – xA. Profil konsentrasi ditunjukkan pada Gambar 18.2-1. Dapat dilihat di sana bahwa kemiringan dxA/dz tidak konstan meskipun Nₐ konstan; ini dapat diperkirakan dari Eq. 18.2-1.
Setelah profil konsentrasi diketahui, kita dapat memperoleh nilai rata-rata dan fluks massa di permukaan. Misalnya, konsentrasi rata-rata B di daerah antara z₁ dan z₂ diperoleh sebagai berikut:
di mana ξ = (z – z₁)/(z₂ – z₁) adalah variabel panjang tak berdimensi. Rata-rata ini dapat ditulis kembali sebagai:
Artinya, nilai rata-rata xB adalah rata-rata logaritmik, (xB)̅, dari konsentrasi terminal.
Gambar 18.2-2. Model film untuk perpindahan massa; komponen A berdifusi dari permukaan ke dalam aliran gas melalui film gas diam hipotetis.
Laju perpindahan massa di antarmuka cairan-gas—yaitu, laju penguapan—dapat diperoleh dari Eq. 18.2-1 sebagai berikut:
Dengan menggabungkan Eqs. 18.2-13 dan 18.2-14, akhirnya kita mendapatkan:
Ekspresi ini memberikan laju penguapan dalam hal gaya penggerak karakteristik Xₐ₁ – x₂*. Dengan mengembangkan solusi dalam Eq. 18.2-15 ke dalam deret Taylor, kita dapatkan (lihat 5C.2 dan Problem 18B.18):
Ekspresi di depan perluasan yang diapit kurung adalah hasil yang akan diperoleh jika istilah konveksi diabaikan sepenuhnya dalam Eq. 18.0-1. Perluasan dalam kurung memberikan koreksi akibat penyertaan istilah konveksi. Cara lain untuk menafsirkan ekspresi ini adalah bahwa hasil sederhana sesuai dengan menghubungkan titik akhir kurva xₐ di Fig. 18.2-1 dengan garis lurus, dan hasil lengkap menggunakan kurva xₐ terhadap z. Jika fraksi mol terminal kecil, istilah koreksi dalam kurung pada Eq. 18.2-16 hanya sedikit lebih besar dari satu.
Hasil dari bagian ini telah digunakan untuk penentuan eksperimental difusivitas gas. Selain itu, hasil ini digunakan dalam “model film” perpindahan massa. Pada Fig. 18.2-2, permukaan padat atau cairan ditunjukkan di mana gas mengalir. Di dekat permukaan, terdapat film yang bergerak lambat di mana A berdifusi. Film ini dibatasi oleh permukaan z = z₁ dan z = z₂. Dalam “model” ini, diasumsikan bahwa ada transisi tajam dari film diam ke fluida yang tercampur baik, di mana gradien konsentrasi dapat diabaikan. Meskipun model ini secara fisik tidak realistis, namun telah terbukti berguna sebagai gambaran sederhana untuk mengorelasikan koefisien perpindahan massa.
Gambar 18.2-3. Penguapan dengan difusi keadaan tunak semu. Permukaan cairan turun sangat perlahan saat cairan menguap. Sebuah campuran gas dengan komposisi xA2 mengalir di bagian atas tabung.
Example 18.2-1: Difusi dengan Antarmuka yang Bergerak
Sekarang kita ingin memeriksa masalah yang sedikit berbeda dari yang baru saja dibahas. Alih-alih mempertahankan antarmuka cairan-gas pada ketinggian tetap, kita membiarkan permukaan cairan turun seiring berjalannya penguapan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 18.2-3. Karena cairan surut sangat lambat, kita dapat dengan yakin menggunakan metode keadaan tunak semu.
SOLUTION
Pertama, kita menyamakan laju molar penguapan A dari fase cair dengan laju di mana mol A memasuki fase gas:
Di sini, ρₐ’ adalah densitas cairan murni A dan Mₐ adalah berat molekulnya. Pada sisi kanan Eq. 18.2-17, kita menggunakan laju penguapan keadaan tunak yang dievaluasi pada ketinggian kolom cairan saat ini (ini adalah pendekatan keadaan tunak semu). Persamaan ini dapat diintegrasikan untuk memberikan:
di mana h(t) = z₁(0) – z₂(t) adalah jarak yang telah diturunkan oleh antarmuka dalam waktu t, dan H = z₂ – z₁(0) adalah ketinggian awal kolom gas. Ketika kita menyederhanakan sisi kanan Eq. 18.2-18 dengan iCt, persamaan dapat diintegrasikan dan kemudian diselesaikan untuk h untuk memberikan:
Eksperimen ini dapat digunakan untuk mendapatkan difusivitas dari pengukuran tingkat cairan sebagai fungsi waktu.