Dispersi Taylor dalam aliran tabung laminar
"TAYLOR DISPERSION" IN LAMINAR TUBE FLOW
Di sini kami membahas transportasi dan penyebaran “denyut” solut material A yang diperkenalkan ke dalam fluida B dalam aliran laminar stabil melalui tabung lurus panjang dengan radius R, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 20.5-1. Sebuah denyut massa m₀ diperkenalkan pada inlet z = 0 selama periode yang sangat singkat dekat waktu t = 0, dan kemajuannya melalui tabung akan dianalisis dalam batas waktu yang lama. Masalah seperti ini sering muncul dalam pengendalian proses, prosedur diagnosis medis, dan dalam berbagai aplikasi lingkungan.
Sebagian jarak ke hilir dari inlet, ketergantungan t dari distribusi fraksi massa akan hilang. Maka, persamaan difusi untuk ωA(r, z, t) dalam aliran Poiseuille dengan D_ab, p, dan μ yang konstan mengambil bentuk:
Persamaan ini harus diselesaikan dengan kondisi batas:
yang menyatakan simetri radial dari profil fraksi massa dan ketidaktembusan dinding tabung terhadap difusi. Untuk analisis jangka panjang ini, tidak perlu menentukan bentuk tepat dari denyut yang disuntikkan pada t = 0. Tidak ada solusi analitik yang tepat untuk profil fraksi massa ωA(r, z, t)—bahkan jika kondisi awal dirumuskan dengan jelas—tetapi Taylor memberikan analisis perkiraan yang berguna yang kami ringkas di sini. Ini melibatkan pengambilan dari Eq. 20.5-1 sebuah persamaan diferensial parsial untuk fraksi massa rata-rata lintang.
yang kemudian dapat diselesaikan untuk menggambarkan perilaku pada waktu yang lama.
Taylor mulai dengan mengabaikan suku difusi molekuler axial (suku bergaris bawah putus-putus dalam Eq. 20.5-1), dan kemudian menunjukkan bahwa ini dapat diterima jika angka Péclet PeAB = R(vz)/DAB berada pada orde 70 atau lebih, dan jika panjang Lp(t) dari daerah yang ditempati oleh denyut, diukur secara visual dalam eksperimen Taylor, berada pada orde 170R atau lebih. Di sini (vz) = 1/2 v̅, adalah kecepatan rata-rata aliran.
Taylor mencari solusi yang berlaku untuk waktu yang lama. Ia memperkirakan kondisi untuk validitas hasilnya sebagai:
Ketika panjang denyut Lp mencapai rentang ini, cukup waktu telah berlalu sehingga bentuk awal denyut tidak lagi penting.
Untuk mengikuti perkembangan profil konsentrasi seiring pergerakan fluida ke hilir, berguna untuk memperkenalkan koordinat axial yang digeser:
Ketika ini digunakan dalam Eq. 20.5-1 (tanpa suku bergaris bawah putus-putus), kita mendapatkan persamaan difusi berikut untuk ωA(r, z, t):
di mana η = r/R adalah koordinat radial tanpa dimensi. Turunan waktu di sini dipahami diambil pada z yang konstan, dan, di bawah kondisi Eq. 20.5-4, dapat diabaikan relatif terhadap suku difusi radial. Akibatnya, kita memiliki persamaan keadaan kuasi-stabil:
Untuk kondisi Eq. 20.5-4, fraksi massa dapat dinyatakan sebagai:
di mana ωA adalah fungsi dari z dan t. Menyisipkan ekspresi ini ke dalam sisi kanan Eq. 20.5-7, dan dengan mengabaikan wi, kita kemudian mendapatkan:
dari mana ketergantungan radial fraksi massa dapat diperoleh di bawah kondisi Eq. 20.5-4.
Integrasi Eq. 20.5-9 dengan kondisi batas dari Eq. 20.5-2 kemudian menghasilkan:
Rata-rata dari profil ini di seluruh penampang adalah:
Mengurangkan persamaan ini dari persamaan sebelumnya, dan mengganti 
akhirnya menghasilkan:
sebagai solusi perkiraan Taylor dari Eq. 20.5-6.
Total aliran massa A melalui sebuah bidang dengan z yang konstan (yaitu, aliran relatif terhadap kecepatan rata-rata (vz)) adalah:
Selanjutnya, kami mencatat bahwa, dengan asumsi p = konstan, p(ωA(vz)) = (pA)(vz) dan p(ωAvz) = (pAvA∞) = (nAz). (Mengganti vz dengan vA∞ di sini diperbolehkan karena, dengan difusi molekuler axial diabaikan, spesies A dan B bergerak dengan kecepatan axial yang sama).
Oleh karena itu, ketika Eq. 20.5-13 dibagi dengan TR, kita memperoleh ekspresi fluks massa rata-rata:
relatif terhadap koordinat stasioner. Di sini K adalah koefisien dispersi axial, yang diberikan oleh analisis Taylor sebagai:
Rumus ini menunjukkan bahwa dispersi axial (dalam rentang Pe >> 1 yang dipertimbangkan sejauh ini) ditingkatkan oleh variasi radial dari vz dan dikurangi oleh difusi molekuler radial. Meskipun Eq. 20.5-14 memiliki bentuk hukum Fick dalam Eq. (C) dari Tabel 17.8-2, persamaan ini tidak mencakup difusi molekuler axial. Juga harus ditekankan bahwa K bukanlah sifat dari campuran fluida, tetapi tergantung pada R dan (vz) serta pada DAB.
Selanjutnya, kita menuliskan persamaan kontinuitas dari Eq. 19.1-6, yang dirata-ratakan di seluruh penampang tabung, sebagai:
Ketika ekspresi untuk fluks massa A dari Eq. 20.5-14 dimasukkan, kita mendapatkan persamaan dispersi axial berikut:
Persamaan ini dapat diselesaikan untuk mendapatkan bentuk denyut yang bergerak yang dihasilkan dari input fungsi δ dari massa m₀ solut A ke dalam aliran B yang murni:
Ini dapat digunakan bersama dengan Eq. 20.5-15 untuk mengekstrak DAB dari data konsentrasi dalam denyut yang bergerak. Sebenarnya, ini mungkin adalah metode terbaik untuk pengukuran difusivitas cairan yang cukup cepat.
Pengembangan Taylor meletakkan dasar bagi literatur yang luas tentang dispersi konvektif. Namun, masih perlu untuk mempelajari pendekatan yang dibuat dan menentukan rentang validitasnya. Aris memberikan pengobatan rinci tentang dispersi dalam tabung dan saluran, mencakup seluruh rentang t dan termasuk difusi dalam arah z dan r. Asimtot panjangnya:
Asimtot ini adalah perpanjangan penting dari Eq. 20.5-15. Dari hasil ini, kita melihat bahwa difusi molekuler meningkatkan dispersi axial ketika bilangan Peclet Pe = R(vz)/DAB kurang dari √2 dan menghambat dispersi axial pada bilangan Peclet yang lebih besar, di mana mode transportasi Taylor mendominasi.
Rentang validitas rumus dispersi Taylor dan Aris telah dipelajari secara mendalam melalui perhitungan beda hingga dan kolokasi ortogonal. Gambar 20.5-2 menunjukkan rentang berguna dari Eq. 20.5-15 dan 19. Rumus yang terakhir telah banyak digunakan untuk pengukuran difusivitas biner, dan perpanjangan dari itu telah digunakan untuk mengukur difusivitas ternari dalam cairan.
Beberapa penyelidikan lebih lanjut tentang dispersi konvektif akan disebutkan di sini. Tabung melingkar memberikan dispersi longitudinal yang berkurang, seperti yang ditunjukkan oleh eksperimen Koutsky dan Adler dan dianalisis untuk aliran laminar oleh Nunge, Lin, dan Gill. Efek ini penting dalam desain reaktor kimia dan dalam pengukuran difusivitas, di mana penggulungan sering diperlukan untuk mendapatkan panjang tabung yang cukup dalam peralatan yang kompak.
Dispersi ekstra-kolom, yang disebabkan oleh pompa dan pipa penghubung sistem kromatografi, diselidiki oleh Shankar dan Venhoff dengan prediksi mendetail dan eksperimen yang tepat. Eksperimen mereka menunjukkan bahwa bentuk rata-rata radial penting pada waktu yang lebih pendek daripada rentang yang direkomendasikan yang ditunjukkan dalam Gambar 20.5-2 untuk rumus Taylor-Aris. Tergantung pada jenis analisa yang digunakan, data mungkin lebih baik dijelaskan baik oleh rata-rata pencampuran cangkir (p̅) atau oleh rata-rata area (p̅) yang digunakan di atas.
Hoagland dan Prud’homme telah menganalisis dispersi longitudinal laminar dalam tabung dengan radius yang bervariasi sinusoidal, R(z) = R₀(1 + E sin(2πz/λ)), untuk memodelkan dispersi dalam proses bed terisi. Hasil mereka paralel dengan Eq. 20.5-19, ketika variasinya memiliki amplitudo relatif kecil (ε) dan panjang gelombang relatif panjang (λ/R). Seseorang mungkin berpikir bahwa dispersi axial dalam kolom terisi akan mirip dengan yang dalam tabung dengan radius yang bervariasi sinusoidal, tetapi itu bukanlah kasusnya. Alih-alih Eq. 20.3-19, kita menemukan K ≈ 2.59(νPeAB), dengan kekuatan pertama dari bilangan Peclet muncul, bukannya kekuatan kedua dan dengan K tidak tergantung pada DAB. Brenner dan Edwards telah memberikan analisis tentang dispersi konvektif dan reaksi dalam berbagai geometri, termasuk tabung dan bed terisi yang berkala secara spasial.
Dispersi juga telah diselidiki dalam aliran yang lebih kompleks. Untuk aliran turbulen dalam tabung lurus, Taylor mengembangkan dan secara eksperimental memverifikasi rumus dispersi axial K/Rν = 10.1*, di mana ν* adalah kecepatan gesekan yang digunakan dalam Eq. 5.3-2. Bassingthwaighte dan Goresky menyelidiki model pertukaran solut dan air dalam sistem kardiovaskular, dan Chatwin serta Allen memberikan model matematika tentang dispersi turbulen di sungai dan estuari.
Persamaan 20.5-1 dan 19 terbatas pada kondisi Eqs. 20.5-2 dan 4. Oleh karena itu, mereka tidak tepat untuk menggambarkan daerah masuk dari operasi reaktor keadaan tetap atau sistem dengan reaksi heterogen. Eq. 20.5-1 adalah titik awal yang lebih baik untuk aliran laminar.