Distribusi Suhu untuk Aliran Turbulen dalam Tabung
ATEMPERATURE DISTRIBUTION FOR TURBULENT FLOW IN TUBES
Dalam 10.8, kami menunjukkan bagaimana mendapatkan perilaku asimptotik dari profil suhu untuk z besar dalam fluida yang mengalir laminar dalam tabung melingkar. Kami mengulangi masalah itu di sini, tetapi untuk fluida dalam aliran turbulen yang sepenuhnya berkembang. Fluida masuk ke dalam tabung dengan jari-jari R pada suhu inlet T₀. Untuk z > 0, fluida dipanaskan karena adanya fluks panas radial yang uniform q₀ di dinding (lihat Gambar 13.4-1).
Gambar 13.4-1. Sistem yang digunakan untuk memanaskan cairan dalam aliran turbulen yang sepenuhnya berkembang dengan fluks panas konstan untuk z > 0.
Kami mulai dari persamaan energi, Eq. 13.1-8, yang dituliskan dalam koordinat silindris:
Kemudian, memasukkan ekspresi untuk fluks panas radial dari Eq. 13.3-4 memberikan
Ini harus diselesaikan dengan kondisi batas
Kami sekarang menggunakan variabel tak berdimensi yang sama seperti yang telah diberikan dalam Eqs. 10.8-16 hingga 18 (dengan T menggantikan T₀ dalam definisi suhu tak berdimensi). Maka Eq. 13.4-2 dalam bentuk tak berdimensi adalah
di mana 
adalah profil kecepatan turbulen tak berdimensi. Persamaan ini harus diselesaikan dengan kondisi batas tak berdimensi
Solusi lengkap untuk masalah ini telah diberikan, tetapi kami akan membatasi diri pada solusi untuk z besar. Kami mulai dengan mengasumsikan solusi asimptotik dalam bentuk Eq. 10.8-23.
yang harus memenuhi persamaan diferensial, bersama dengan kondisi batas 1 dan 2 serta Kondisi 4 dalam Eq. 10.8-24 (dengan T dan 
digantikan oleh T dan 
Persamaan yang dihasilkan untuk Ψ adalah
Mengintegrasikan persamaan ini dua kali dan kemudian membangun fungsi Ψ menggunakan **Eq. 13.4-10**, kami mendapatkan
di mana dipahami bahwa α’ʹ adalah fungsi dari Ψ, dan Φ adalah singkatan untuk integral
Konstanta integrasi C₁ diset sama dengan nol untuk memenuhi kondisi batas 1. Konstanta C₂ ditemukan dengan menerapkan kondisi batas 2, yang memberikan
Konstanta yang tersisa, C₂, dapat, jika diinginkan, diperoleh dari Kondisi 4, tetapi kami tidak membutuhkannya di sini (lihat Masalah 13D.1). Selanjutnya, kami mendapatkan ekspresi untuk perbedaan suhu tak berdimensi Θ₀ – Θ₁, yang merupakan “gaya pendorong” untuk transfer panas di dinding tabung:
Pada baris kedua, urutan integrasi dari integral ganda telah dibalik. Integral dalam pada suku kedua di sebelah kanan hanyalah Θ(1) – Θ(0), dan bagian yang mengandung I(1) secara tepat membatalkan suku pertama dalam Eq. 13.4-15. Oleh karena itu, ketika Eq. 13.4-14 digunakan, kami mendapatkan
Tetapi besaran I(1) yang muncul dalam Eq. 13.4-16 memiliki interpretasi yang sederhana:
Akhirnya, kami ingin mendapatkan fluks panas dinding tak berdimensi,
yang kebalikannya adalah
Untuk menggunakan hasil ini, perlu memiliki ekspresi untuk distribusi kecepatan yang dihaluskan waktu (yang muncul dalam I(1)), viskositas kinematik turbulen ν’ʹ sebagai fungsi posisi, dan suatu postulat untuk angka Prandtl turbulen Pr’ʹ.
Gambar 13.4-2. Perbandingan ekspresi dalam Eq. 13.4-20 untuk fluks panas dinding dalam aliran turbulen yang sepenuhnya berkembang dengan data eksperimen dari R. G. Deissler dan C. S. Eian, NACA Tech. Note #2629 (1952); R. W. Allen dan E. R. G. Eckert, J. Heat Transfer, Trans. ASME, Ser. C., 86,301-310 (1964); J. A. Malina dan E. M. Sparrow, Chem. Eng. Sci, 19,953-962 (1964); W. L. Friend dan A. B. Metzner, AlChE Journal, 4,393-402 (1958); P. Harriott dan R. M. Hamilton, Chem. Eng. Sci., 20,1073-1078 (1965). Data dari Harriott dan Hamilton adalah untuk eksperimen transfer massa yang setara, di mana Eq. 13.4-20 juga berlaku.
Perhitungan ekstensif berdasarkan Eq. 13.4-19 dilakukan oleh Sandall, Hanna, dan Cazet. Para penulis ini menganggap angka Prandtl turbulen sama dengan satu. Mereka membagi wilayah integrasi menjadi dua bagian, satu dekat dinding dan yang lainnya untuk inti turbulen. Di “wilayah dinding,” mereka menggunakan persamaan van Driest yang dimodifikasi dari Eq. 5.4-7 untuk panjang pencampuran, dan di “wilayah inti,” mereka menggunakan distribusi kecepatan logaritmik. Hasil akhir mereka diberikan sebagai
Dalam memperoleh hasil ini, Eq. 6.1-4a telah digunakan. Eq. 13.4-20 sesuai dengan data yang tersedia tentang transfer panas (dan transfer massa) dalam rentang 3.6 hingga 8.1% untuk 0.73 < Pr < 590, tergantung pada kumpulan data yang dipelajari. Ekspresi transfer massa yang setara, yang mengandung Sc = ρ/ρₗ, menggantikan Pr, dilaporkan sesuai dengan data transfer massa dalam rentang 452 < Sc < 97600 dengan ketepatan 8%. Kesepakatan teori dengan data transfer panas dan transfer massa, yang ditunjukkan dalam Gambar 13.4-2, sangat meyakinkan.