Ekspresi Empiris untuk Fluks Momentum Turbulen

EMPIRICAL EXPRESSIONS FOR THE TURBULENT MOMENTUM FLUX

Kita sekarang kembali ke masalah penggunaan persamaan-persemaan yang dilapisi waktu dalam Eq. 5.2-11 dan 12 untuk memperoleh distribusi kecepatan dan tekanan yang dilapisi waktu. Seperti yang disebutkan di bagian sebelumnya, beberapa informasi tentang distribusi kecepatan dapat diperoleh tanpa memerlukan ekspresi khusus untuk fluks momentum turbulen τ(t). Namun, sering digunakan berbagai empirisis untuk τ(t) yang melibatkan gradien kecepatan. Kami menyebutkan beberapa di antaranya, dan banyak lagi yang dapat ditemukan dalam literatur turbulensi.

Untuk dua jenis aliran turbulen (yaitu, aliran sepanjang permukaan dan aliran dalam jet serta wake), tersedia ekspresi khusus untuk p’t’:

Viskositas Eddy Boussinesq

Menurut analogi dengan hukum viskositas Newton, Eq. 1.1-1, dapat ditulis untuk aliran geser turbulendalam hal ini, μ'(t) adalah viskositas turbulen (sering disebut viskositas eddy, dan dilambangkan dengan ε). Seperti yang terlihat dari Tabel 5.1-1, untuk setidaknya salah satu aliran yang diberikan, jet melingkar, Eq. 5.4-1 mungkin berguna. Biasanya, μ'(t) adalah fungsi yang sangat tergantung pada posisi dan intensitas turbulensi. Bahkan, untuk beberapa sistem, μ'(t) dapat menjadi negatif di beberapa daerah. Perlu ditekankan bahwa viskositas p adalah properti dari fluida, sedangkan viskositas eddy μ'(t) adalah properti utama dari aliran.

Untuk dua jenis aliran turbulen (yaitu, aliran sepanjang permukaan dan aliran dalam jet serta wake), tersedia ekspresi khusus untuk μ'(t)‘;

Turbulensi dinding:

Ekspresi ini, yang dapat diturunkan dari Eq. 5.3-13, hanya berlaku sangat dekat dengan dinding. Ekspresi ini sangat penting dalam teori transfer panas dan massa turbulen pada antarmuka fluida-padatan.

Free turbulence:

di mana K0 adalah koefisien tanpa dimensi yang harus ditentukan secara eksperimental, b adalah lebar zona pencampuran pada jarak hulu z, dan kuantitas dalam tanda kurung mewakili selisih maksimum dalam komponen kecepatan z yang dilapisi waktu pada jarak tersebut. Prandtl menemukan bahwa persamaan ini berguna sebagai ekspresi empiris untuk aliran jet dan wake.

Panjang Pencampuran Prandtl

Dengan mengasumsikan bahwa eddy bergerak di dalam fluida mirip dengan cara molekul bergerak dalam gas dengan kepadatan rendah (meskipun ini bukan analogi yang sangat baik), Prandtl mengembangkan sebuah ekspresi untuk transfer momentum dalam fluida turbulen. “Panjang pencampuran” l berperan kira-kira sama dengan lintasan bebas rata-rata dalam teori kinetik. Penalaran semacam ini mengarah pada hubungan berikut:

Jika panjang pencampuran l merupakan konstanta universal, maka Persamaan 5.4-4 akan sangat menarik. Namun, pada kenyataannya, l ditemukan sebagai fungsi dari posisi. Prandtl mengusulkan ekspresi berikut untuk l :di mana K1 dan K2 adalah konstanta. Hasil yang mirip dengan Persamaan 5.4-4 diperoleh oleh Taylor melalui “teori transport vortisitas” beberapa tahun sebelum usulan Prandtl.

Persamaan van Driest yang Dimodifikasi

Telah ada banyak upaya untuk merumuskan ekspresi empiris yang dapat menggambarkan tegangan geser turbulen dari dinding hingga aliran turbulen utama. Di sini kami memberikan modifikasi dari persamaan van Driest. Ini adalah formula untuk panjang pencampuran dari Persamaan 5.4-4.Hubungan ini telah terbukti berguna untuk memprediksi laju perpindahan panas dan massa dalam aliran di tabung. Pada dua bagian berikutnya dan dalam beberapa soal di akhir bab, kami memberikan ilustrasi penggunaan empirisme di atas. Ingatlah bahwa ekspresi untuk tegangan Reynolds ini hanyalah alat bantu yang digunakan untuk merepresentasikan data eksperimen atau menyelesaikan masalah dalam kategori yang cukup spesifik.

Example 5.4-1: Pengembangan Ekspresi Tegangan Reynolds di Sekitar Dinding

Dapatkan suatu ekspresi untuk sebagai fungsi dari y di sekitar dinding.

SOLUTION

(a) Kita mulai dengan membuat pengembangan deret Taylor dari tiga komponen v’:Istilah pertama dalam Persamaan 5.4-8 dan 10 harus nol karena kondisi tanpa slip (no-slip condition); istilah pertama dalam Persamaan 5.4-9 bernilai nol jika tidak ada transfer massa. Selanjutnya, kita bisa menuliskan Persamaan 5.2-11 pada y = 0,Istilah pertama dan ketiga dalam persamaan ini bernilai nol karena kondisi tanpa slip. Oleh karena itu, kita harus menyimpulkan bahwa istilah kedua juga bernilai nol. Jadi, semua istilah yang digarisbawahi dengan tanda putus-putus dalam Persamaan 5.4-8 hingga 10 adalah nol, dan kita dapat menyimpulkan bahwaIni menyarankan—meskipun tidak membuktikan—bahwa istilah utama dalam tegangan Reynolds di dekat dinding seharusnya sebanding dengan y³. Namun, studi ekstensif tentang laju perpindahan massa dalam saluran tertutup telah menunjukkan bahwa A ≠ 0.

(b) Untuk aliran antara pelat paralel, kita dapat menggunakan ekspresi yang ditemukan dalam Persamaan 5.3-12 untuk profil kecepatan yang dilapisi waktu guna mendapatkan fluks momentum turbulen:di mana . Ini sesuai dengan Persamaan 5.4-12.