Elastisitas dan model viskoelastisitas linier

ELASTICITY AND THE LINEAR VISCOELASTIC MODELS

Setelah Persamaan 1.2-3, dalam diskusi tentang generalisasi “hukum viskositas” Newton, kita secara khusus mengecualikan turunan waktu dan integral waktu dalam konstruksi ekspresi linier untuk tensor tegangan berdasarkan gradien kecepatan. Pada bagian ini, kita memperbolehkan penyertaan turunan waktu atau integral waktu, namun tetap memerlukan hubungan linier antara tensor tegangan dan tensor kecepatan. Ini mengarah pada model viskoelastis linier.

Kita mulai dengan menuliskan ekspresi Newton untuk tensor tegangan pada cairan viskos yang tidak terkompresi, bersama dengan ekspresi analog Hooke untuk tensor tegangan pada padatan elastis yang tidak terkompresi.Dalam ekspresi kedua ini, G adalah modulus elastis, dan u adalah “vektor perpindahan,” yang menunjukkan jarak dan arah pergerakan titik dalam padatan dari posisi awalnya akibat tegangan yang diterapkan. Kuantitas γ disebut “tensor regangan infinitesimal.” Tensor laju regangan dan tensor regangan infinitesimal terkait oleh γ = dγ/dt. Padatan Hookean memiliki memori sempurna; ketika tegangan yang diterapkan dihilangkan, padatan kembali ke konfigurasi awalnya. Hukum Hooke hanya berlaku untuk gradien perpindahan yang sangat kecil, ∇u. Sekarang kita ingin menggabungkan ide-ide yang terkandung dalam Persamaan 8.4-1 dan 2 untuk menggambarkan fluida viskoelastis.

Model Maxwell

Persamaan sederhana untuk menggambarkan fluida yang bersifat viskos dan elastis adalah model Maxwell berikut:

Di sini λ_1 adalah konstanta waktu (waktu relaksasi) dan η_0 adalah viskositas pada laju geser nol. Ketika tensor tegangan berubah sangat lambat seiring waktu, maka Persamaan 8.4-3 memiliki bentuk seperti Persamaan 8.4-1 untuk cairan Newtonian. Ketika ada perubahan sangat cepat dalam tensor tegangan seiring waktu, maka istilah pertama di sisi kiri Persamaan 8.4-3 dapat diabaikan, dan setelah persamaan diintegrasikan terhadap waktu, kita mendapatkan persamaan seperti Persamaan 8.4-2 untuk padatan Hookean. Dalam pengertian ini, Persamaan 8.4-3 mencakup baik viskositas maupun elastisitas.

Sebuah eksperimen sederhana yang menggambarkan perilaku cairan viskoelastik melibatkan “silly putty.” Material ini mengalir dengan mudah ketika diperas perlahan di antara telapak tangan, menunjukkan bahwa ia adalah cairan viskos. Namun, ketika digulung menjadi bola, bola tersebut akan memantul saat dijatuhkan ke permukaan keras. Selama dampak, tegangan berubah dengan cepat, dan material tersebut berperilaku sebagai padatan elastis.

Model Jeffreys

Model Maxwell pada Eq. 8.4-3 adalah hubungan linier antara stres dan gradien kecepatan, yang melibatkan turunan waktu dari stres. Kita juga bisa memasukkan turunan waktu dari gradien kecepatan dan tetap memiliki hubungan linier.Model Jeffreys ini mengandung tiga konstanta: viskositas pada laju geser nol dan dua konstanta waktu λ2 disebut waktu retardasi). Kita juga bisa menambahkan istilah yang mengandung turunan kedua, ketiga, dan lebih tinggi dari stres dan tensor laju regangan dengan konstanta perkalian yang sesuai, untuk mendapatkan hubungan linier yang lebih umum antara stres dan tensor laju regangan. Ini memberikan fleksibilitas lebih dalam mencocokkan data eksperimen.

Model Maxwell Umum

Cara lain untuk memperluas ide asli Maxwell adalah dengan “menumpuk” persamaan bentuk Eq. 8.4-3 dan menulis model Maxwell yang digeneralisasi sebagai:Dalam model ini terdapat banyak waktu relaksasi λ_k (dengan λ_1 ≥ λ_2 ≥ λ_3…..) dan banyak konstanta η_k yang memiliki dimensi viskositas. Banyak yang telah diketahui mengenai konstanta-konstanta dalam model ini dari teori molekular polimer dan eksperimen yang ekstensif pada cairan polimer. Jumlah total parameter dapat dikurangi menjadi tiga dengan menggunakan ekspresi empiris berikut:Di mana η_0 adalah viskositas pada laju geser nol, λ adalah konstanta waktu, dan a adalah konstanta tanpa dimensi (biasanya antara 1,5 dan 4). Karena persamaan 8.4-6 adalah persamaan diferensial linear, maka dapat diintegrasikan secara analitik, dengan kondisi bahwa fluida dalam keadaan diam pada t = – ∞. Kemudian, ketika berbagai τ_k dijumlahkan sesuai dengan persamaan 8.4-5, kita mendapatkan bentuk integral dari model Maxwell yang digeneralisasi:

Dalam bentuk ini, gagasan “memori yang memudar” jelas terlihat: tegangan pada waktu t bergantung pada gradien kecepatan pada semua waktu lampau t’, tetapi karena eksponensial dalam integran, bobot terbesar diberikan pada waktu t’ yang mendekati t; artinya, “memori” fluida lebih baik untuk waktu yang baru saja berlalu daripada waktu yang lebih jauh di masa lalu. Kuantitas dalam kurung kurawal { } disebut modulus relaksasi fluida dan dilambangkan dengan G(t – t’). Ekspresi integral dalam persamaan 8.4-9 terkadang lebih mudah digunakan untuk menyelesaikan masalah viskoelastik linear daripada persamaan diferensial dalam persamaan 8.4-5 dan 8.4-6.

Model Maxwell, Jeffreys, dan Maxwell yang digeneralisasi semuanya merupakan contoh model viskoelastik linear, dan penggunaannya terbatas pada gerakan dengan gradien perpindahan yang sangat kecil. Cairan polimerik memiliki banyak derajat kebebasan internal, sehingga diperlukan banyak waktu relaksasi untuk menggambarkan respons linear mereka. Oleh karena itu, model Maxwell yang digeneralisasi telah banyak digunakan untuk menginterpretasikan data eksperimental tentang viskoelastisitas linear. Dengan mencocokkan persamaan 8.4-9 dengan data eksperimental, seseorang dapat menentukan fungsi relaksasi G(t – t’). Bentuk fungsi relaksasi tersebut kemudian dapat dikaitkan dengan struktur molekul polimer. Dengan cara ini, semacam “spektroskopi mekanis” dikembangkan, yang dapat digunakan untuk menyelidiki struktur melalui pengukuran viskoelastisitas linear (seperti viskositas kompleks).

Model yang menggambarkan aliran dengan gradien perpindahan yang sangat kecil mungkin tampak hanya memiliki minat terbatas bagi para insinyur. Namun, alasan penting mempelajarinya adalah karena latar belakang dalam viskoelastisitas linear membantu kita dalam mempelajari viskoelastisitas nonlinear, di mana aliran dengan gradien perpindahan besar dibahas.

Example: Gerakan Osilasi Amplitudo Kecil

Dapatkan sebuah persamaan untuk komponen viskositas kompleks dengan menggunakan model Maxwell umum. Sistem tersebut dijelaskan dalam Gambar 8.2-2.

SOLUTION

Kita menggunakan komponen yx dari Persamaan 8.4-9, dan untuk masalah ini komponen yx dari tensor laju regangandi mana ω adalah frekuensi sudut. Ketika ini dimasukkan ke dalam Persamaan 8.4-9, dengan modulus relaksasi (dalam kurung kurawal) dinyatakan sebagai G(t – t’), kita mendapatkandi mana s = t – t’. Ketika persamaan ini dibandingkan dengan Persamaan 8.2-4, kita memperolehuntuk komponen-komponen viskositas kompleks η* = η’ – iη”. Ketika ekspresi Maxwell yang digeneralisasi untuk modulus relaksasi diperkenalkan dan integralnya dievaluasi, kita menemukan bahwaJika empirisme dalam Persamaan 8.4-7 dan 8 digunakan, dapat ditunjukkan bahwa baik η’ dan η” menurun sebagai pada frekuensi yang sangat tinggi (lihat Gambar 8.2-4).