F = ma Normal ke Streamline
Pada bagian F = ma normal ke streamline ini kita akan mempertimbangkan penerapan hukum kedua Newton dalam arah normal terhadap garis aliran. Dalam banyak aliran, garis aliran relatif lurus, aliran pada dasarnya satu dimensi, dan variasi parameter di sepanjang garis aliran (dalam arah normal) seringkali dapat diabaikan bila dibandingkan dengan variasi sepanjang garis aliran. Namun, dalam banyak situasi lain, informasi berharga dapat diperoleh dengan mempertimbangkan F=ma normal terhadap garis aliran. Sebagai contoh, daerah tekanan rendah yang menghancurkan di tengah tornado dapat dijelaskan dengan menerapkan hukum kedua Newton melintasi garis aliran yang hampir lingkaran dari tornado.
Kita kembali mempertimbangkan keseimbangan gaya pada partikel fluida yang ditunjukkan dalam Gambar 3.3 dan gambar di pinggirannya. Kali ini, namun, kita mempertimbangkan komponen dalam arah normal, nˆ , dan menulis hukum kedua Newton dalam arah ini sebagai
di mana ∑𝛿Fn merupakan jumlah dari komponen-n dari semua gaya yang bekerja pada partikel dan dm adalah massa partikel. Kita asumsikan aliran adalah stabil dengan percepatan normal <i>an =V2/R</i>, di mana r adalah radius lokal dari lengkungan garis aliran. Percepatan ini dihasilkan oleh perubahan arah kecepatan partikel saat bergerak sepanjang lintasan melengkung.
Kita kembali mengasumsikan bahwa satu-satunya gaya yang penting adalah tekanan dan gravitasi. Komponen dari berat (gaya gravitasi) dalam arah normal adalah
Jika lintasan aliran tegak lurus pada titik tertentu, 𝜃 = 90°, maka tidak ada komponen berat partikel yang tegak lurus terhadap arah aliran yang dapat berkontribusi pada percepatannya dalam arah tersebut.
Jika tekanan di pusat partikel adalah p, maka nilainya di bagian atas dan bawah partikel adalah p + 𝛿pn dan p – 𝛿pn, di mana 𝛿pn=(𝛿p/𝛿n) (𝛿n/2). Dengan demikian, jika 𝛿Fpn adalah gaya tekanan bersih pada partikel dalam arah normal, maka:
Oleh karena itu, gaya bersih yang bertindak dalam arah normal pada partikel yang ditunjukkan dalam Gambar 3.3 diberikan oleh:
Dengan menggabungkan Persamaan 3.8 dan 3.9 dan menggunakan fakta bahwa sepanjang garis normal terhadap garis arus cos 𝜃=dz/dn (lihat Gambar 3.32), kita mendapatkan persamaan gerak berikut dalam arah normal:
Interpretasi fisik dari Persamaan 3.10 adalah bahwa perubahan arah aliran partikel fluida (misalnya, lintasan melengkung, R<∞) dilakukan dengan kombinasi yang sesuai antara gradien tekanan dan berat partikel normal terhadap garis arus. Kecepatan, densitas, atau radius lengkung yang lebih besar dari gerakan membutuhkan ketidakseimbangan gaya yang lebih besar untuk menghasilkan gerakan tersebut. Sebagai contoh, jika gravitasi diabaikan (seperti yang sering dilakukan untuk aliran gas) atau jika aliran berada dalam bidang horizontal (dz/dn=0), Persamaan 3.10 menjadi
Ini menunjukkan bahwa tekanan meningkat seiring dengan jarak menjauh dari pusat lengkung (𝛿p/𝛿n) negatif karena pV2/R positif—arah n positif mengarah ke “bagian dalam” dari aliran lengkung. Dengan demikian, tekanan di luar sebuah tornado (tekanan atmosfer tipikal) lebih besar daripada yang ada di dekat pusat tornado (di mana sering terjadi tekanan parsial vakum yang berbahaya). Perbedaan tekanan ini diperlukan untuk menyeimbangkan percepatan sentrifugal yang terkait dengan aliran lengkung dari gerakan fluida. (Lihat Gambar E6.6a di Bagian 6.5.3.)
Jika kita mengalikan Persamaan 3.10 dengan dn, menggunakan fakta bahwa 𝜕p/𝜕n = dp/dn jika s konstan, dan mengintegrasikannya sepanjang aliran (di dalam arah n), kita dapatkan:
Untuk menyelesaikan integrasi yang diindikasikan, kita harus mengetahui bagaimana kepadatan berubah dengan tekanan dan bagaimana kecepatan fluida dan radius lengkung berubah dengan n. Untuk aliran inkompresibel, kepadatan konstan dan integrasi yang melibatkan suku tekanan hanya menghasilkan p/p. Namun, kita masih harus menyelesaikan integrasi dari suku kedua dalam Persamaan 3.11. Tanpa mengetahui ketergantungan n dalam V = V(s,r) dan R= R(s, n), integrasi ini tidak dapat diselesaikan.
Oleh karena itu, bentuk akhir hukum kedua Newton yang diterapkan melintasi garis aliran untuk aliran steady, inviskid, inkompresibel adalah:
Seperti halnya dengan persamaan Bernoulli, kita harus berhati-hati agar asumsi yang terlibat dalam pengambilan persamaan ini tidak dilanggar saat digunakan.