F = ma Sepanjang Streamline
F = ma sepanjang streamline. Untuk menggambarkan partikel fluida kecil berukuran ds dengan dn di bidang gambar dan dy tegak lurus terhadap gambar seperti yang ditunjukkan dalam diagram tubuh bebas pada Gambar 3.3. Vektor satuan sejajar dan tegak lurus terhadap garis aliran dilambangkan dengan s dan n , secara berturut-turut. Untuk aliran yang stabil, komponen hukum kedua Newton sepanjang arah garis aliran, s, dapat ditulis sebagai
Di mana ∑𝛿𝐹s mewakili jumlah komponen s dari semua gaya yang bekerja pada partikel, yang memiliki massa 𝛿𝑚= 𝜌𝛿∀ dan V 𝜕𝑉/𝜕𝑠 adalah percepatan dalam arah s. Di sini, 𝛿∀=𝛿𝑠 𝛿𝑛 𝛿𝑦 adalah volume partikel. Persamaan 3.2 berlaku baik untuk fluida yang dapat dimampatkan maupun yang tidak dapat dimampatkan. Artinya, kerapatan tidak perlu konstan di seluruh medan aliran.
Gaya gravitasi 1berat2 pada partikel dapat ditulis sebagai 𝛿𝑊= 𝛾 𝛿 ∀ di mana 𝛾 =𝑝𝑔 adalah berat jenis fluida (lb/ft^3 atau N/m^3). Oleh karena itu, komponen gaya berat dalam arah garis aliran adalah
Jika garis aliran horizontal pada titik yang diminati, maka u=0, dan tidak ada komponen berat partikel sepanjang garis aliran yang berkontribusi terhadap percepatannya dalam arah tersebut.
Seperti yang diindikasikan di Bab 2, tekanan tidak konstan di seluruh fluida diam (Δp=0) karena berat fluida. Demikian pula, dalam fluida yang mengalir, tekanan biasanya tidak konstan. Secara umum, untuk aliran stabil, p=p(s,n). Jika tekanan di pusat partikel yang ditunjukkan dalam Gambar 3.3 dinotasikan sebagai p, maka nilainya rata-rata pada dua permukaan ujung yang tegak lurus terhadap garis aliran adalah p−dp dan p+dp. Karena partikelnya “kecil”, kita dapat menggunakan ekspansi deret Taylor satu suku untuk medan tekanan (Δp) seperti yang dilakukan dalam Bab 2 untuk gaya tekanan dalam fluida statis untuk mendapatkan
Oleh karena itu, jika 𝛿Fps adalah gaya tekanan bersih pada partikel dalam arah garis aliran, maka
Perlu dicatat bahwa tingkat tekanan aktual, p, tidak penting. Yang menghasilkan gaya tekanan bersih adalah kenyataan bahwa tekanan tidak konstan di seluruh fluida. Gradien tekanan yang tidak nol, ∇𝑝=𝜕𝑝/𝜕𝑠 𝑠+𝜕𝑝/𝜕𝑛 𝑛, adalah yang menyediakan gaya tekanan bersih pada partikel. Gaya viskos, yang direpresentasikan oleh 𝜏 𝛿𝑠 𝜕𝑦 adalah nol, karena fluida tidak memiliki viskositas.
Dengan demikian, gaya bersih yang bertindak dalam arah aliran pada partikel yang ditunjukkan dalam Gambar 3.3 diberikan oleh
Dengan menggabungkan Persamaan 3.2 dan 3.3, kita mendapatkan persamaan gerak berikut dalam arah aliran streamline:
Kita telah membagi faktor volume partikel yang umum, 𝜕∀ yang muncul baik dalam gaya maupun percepatan dalam persamaan tersebut. Ini merupakan representasi dari fakta bahwa kepadatan fluida (massa per unit volume), bukan massa sebenarnya dari partikel fluida, yang penting.
Interpretasi fisik dari Persamaan 3.4 adalah bahwa perubahan kecepatan partikel fluida dilakukan dengan kombinasi yang tepat antara gradien tekanan dan berat partikel sepanjang garis aliran. Untuk situasi statis fluida, keseimbangan antara gaya tekanan dan gravitasi adalah sehingga tidak ada perubahan kecepatan partikel yang dihasilkan – bagian kanan Persamaan 3.4 adalah nol, dan partikel tetap diam. Dalam fluida yang mengalir, gaya tekanan dan gravitasi tidak selalu seimbang – ketidakseimbangan gaya menyediakan percepatan yang sesuai dan, oleh karena itu, gerakan partikel.
Persamaan 3.4 dapat diubah dan diintegrasikan sebagai berikut. Pertama, kita catat dari Gambar 3.3 bahwa sepanjang garis aliran sin 𝜃 dz/ds. Juga kita dapat menulis V dV/ds =1/2 d(V2)/ds. Terakhir, sepanjang garis aliran nilai n adalah konstan (dn =0) sehingga dp =(𝜕p/𝜕s) ds +(𝜕p/𝜕n) dn= (𝜕p/𝜕s) ds. Oleh karena itu, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di pinggiran, sepanjang garis aliran tertentu p(s, n) = p(s) dan 𝜕p/𝜕s = dp/ds. Ide-ide ini dikombinasikan dengan Persamaan 3.4 memberikan hasil berikut yang berlaku sepanjang garis aliran
Ini disederhanakan menjadi:
yang, untuk percepatan gravitasi konstan, dapat diintegrasikan untuk memberikan:
di mana C adalah konstanta integrasi yang akan ditentukan oleh kondisi di suatu titik pada garis aliran
Secara umum tidak mungkin untuk mengintegrasikan suku tekanan karena kerapatan mungkin tidak konstan dan, oleh karena itu, tidak dapat dihapus dari di bawah tanda integral. Untuk melakukan integrasi ini, kita harus mengetahui secara khusus bagaimana kerapatan bervariasi dengan tekanan. Ini tidak selalu mudah ditentukan. Sebagai contoh, untuk gas sempurna, kerapatan, tekanan, dan suhu terkait sesuai dengan ρ=p/ RT, di mana R adalah konstanta gas. Untuk mengetahui bagaimana kerapatan bervariasi dengan tekanan, kita juga harus mengetahui variasi suhu. Untuk saat ini kita akan mengasumsikan bahwa kerapatan dan berat jenisnya konstan (aliran tak dapat dimampatkan). Dasar-dasar asumsi ini dan konsekuensinya akan dipertimbangkan lebih lanjut di Bagian 3.8.1 dan lebih lengkap di Bab 11.
Dengan asumsi tambahan bahwa kerapatan tetap konstan (asumsi yang sangat baik untuk cairan dan juga untuk gas jika kecepatannya “tidak terlalu tinggi”), Persamaan 3.6 mengasumsikan representasi sederhana berikut untuk aliran statis, tak dapat dimampatkan, inviscid.
Ini adalah Persamaan Bernoulli yang terkenal – alat yang sangat kuat dalam mekanika fluida. Pada tahun 1738 Daniel Bernoulli (1700–1782) mempublikasikan Hydrodynamics di mana sebuah bentuk setara dari persamaan terkenal ini pertama kali muncul. Untuk menggunakannya dengan benar, kita harus selalu ingat asumsi dasar yang digunakan dalam deduksinya: 1) efek viskos diasumsikan dapat diabaikan, 2) aliran diasumsikan steady, 3) aliran diasumsikan tak dapat dimampatkan, dan 4) persamaan tersebut berlaku sepanjang garis aliran. Dalam deduksi Persamaan 3.7, kita mengasumsikan bahwa aliran terjadi dalam sebuah bidang (bidang x-z). Secara umum, persamaan ini berlaku untuk aliran bidang maupun aliran tiga dimensi, asalkan diterapkan sepanjang garis aliran.
Kami akan memberikan banyak contoh untuk mengilustrasikan penggunaan yang benar dari persamaan Bernoulli dan akan menunjukkan bagaimana pelanggaran terhadap asumsi dasar yang digunakan dalam deduksi persamaan ini dapat mengarah ke kesimpulan yang keliru. Konstanta integrasi dalam persamaan Bernoulli dapat dievaluasi jika informasi yang cukup tentang aliran diketahui di satu lokasi sepanjang garis aliran.
Perbedaan kecepatan fluida antara dua titik dalam suatu medan aliran, V1 dan V2, seringkali dapat dikendalikan oleh kendala geometris yang sesuai dari fluida tersebut. Sebagai contoh, sebuah nozzle selang taman dirancang untuk memberikan kecepatan yang jauh lebih tinggi di bagian keluarnya daripada di bagian masuknya di mana selang taman terpasang. Seperti yang ditunjukkan oleh persamaan Bernoulli, tekanan dalam selang harus lebih besar daripada di bagian keluar (untuk elevasi konstan, peningkatan kecepatan membutuhkan penurunan tekanan jika Persamaan 3.7 berlaku). Itu penurunan tekanan ini yang mempercepat air melalui nozzle. Demikian pula, sebuah airfoil dirancang agar kecepatan fluida di atas permukaan atasnya lebih besar (secara rata-rata) daripada di sepanjang permukaan bawahnya. Dari persamaan Bernoulli, oleh karena itu, tekanan rata-rata pada permukaan bawah lebih besar daripada pada permukaan atas. Sebuah gaya netto ke atas, yang disebut angkat, dihasilkan.