FAKTOR GESAKAN UNTUK ALIRAN DALAM TABUNG
FRICTION FACTORS FOR FLOW IN TUBES
Sekarang kita menggabungkan definisi f dalam Persamaan 6.1-2 dengan analisis dimensional dari 3.7 untuk menunjukkan apa yang harus tergantung pada f dalam jenis sistem ini. Kami mempertimbangkan sebuah “bagian uji” dengan jari-jari dalam R dan panjang L, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.2-1, yang membawa fluida dengan kerapatan dan viskositas konstan pada laju aliran massa yang mantap. Tekanan p_0 dan p_L di ujung bagian uji diketahui.
Gambar 6.2-1 menunjukkan potongan dari sebuah tabung melingkar dari z=0z = 0 hingga z=Lz = L untuk pembahasan analisis dimensional.
Sistem ini berada dalam aliran laminar yang mantap atau aliran turbulen yang mantap (yaitu, aliran turbulen dengan laju aliran total yang mantap). Dalam kedua kasus tersebut, gaya dalam arah z dari fluida pada dinding dalam bagian uji adalah
Dalam aliran turbulen, gaya dapat bergantung pada waktu, tidak hanya karena fluktuasi turbulen, tetapi juga karena sesekali terlepasnya lapisan batas dari dinding, yang menghasilkan jarak dengan skala waktu yang panjang. Dalam aliran laminar, dipahami bahwa gaya akan independen terhadap waktu.
Dengan menyamakan Persamaan 6.2-1 dan 6.1-2, kita mendapatkan ekspresi berikut untuk faktor gesekan:
Selanjutnya, kita memperkenalkan kuantitas tak berdimensi dari 
Kemudian Persamaan 6.2-2 dapat ditulis ulang sebagai
Hubungan ini berlaku untuk aliran laminar atau turbulen dalam tabung melingkar yang halus. Kita melihat bahwa untuk sistem aliran di mana gaya drag hanya bergantung pada gaya viskositas (yaitu, tanpa “gaya drag bentuk”), hasil kali f Re pada dasarnya adalah gradien kecepatan tak berdimensi yang dirata-ratakan di permukaan.
Ingatlah sekarang bahwa, secara prinsip, ∂vz/∂r dapat dievaluasi dari Persamaan 3.7-8 dan 9 bersama dengan kondisi batas.
dan kondisi awal yang sesuai. Profil kecepatan masuk yang seragam dalam Persamaan 6.2-5 akurat kecuali sangat dekat dengan dinding, untuk nozzle dan sistem hulu yang dirancang dengan baik. Jika Persamaan 3.7-8 dan 9 dapat diselesaikan dengan kondisi batas dan awal ini untuk mendapatkan v dan P, solusinya akan berada dalam bentuk:
Artinya, ketergantungan fungsional dari v dan P harus, secara umum, mencakup semua variabel tak berdimensi dan satu kelompok tak berdimensi yang muncul dalam persamaan diferensial. Tidak ada kelompok tak berdimensi tambahan yang masuk melalui kondisi batas sebelumnya.
Sebagai akibatnya, ∂vz/∂r juga harus bergantung pada r, θ, z, t, dan Re. Ketika ∂vz/∂r dievaluasi pada z = ½ dan kemudian diintegrasikan terhadap z dan θ dalam Persamaan 6.2-3, hasilnya hanya bergantung pada t, Re, dan L/D (yang terakhir muncul dalam batas atas dalam integrasi terhadap z). Oleh karena itu, kita sampai pada kesimpulan bahwa f(t) = f (Re, L/D, t), yang, ketika dirata-ratakan dalam waktu, menjadi:
ketika rata-rata waktu dilakukan pada interval yang cukup lama untuk mencakup gangguan turbulen jangka panjang. Faktor gesekan yang diukur kemudian hanya bergantung pada angka Reynolds dan rasio panjang terhadap diameter.
Ketergantungan f pada L/D timbul dari perkembangan distribusi kecepatan rata-rata waktu dari bentuk masuk yang datar menuju profil yang lebih membulat pada nilai z yang lebih rendah. Perkembangan ini terjadi dalam wilayah masuk, dengan panjang L_e = 0.030D untuk aliran laminar atau L_e = 60D untuk aliran turbulen, setelah itu bentuk distribusi kecepatan dianggap “sepenuhnya berkembang.” Dalam transportasi fluida, panjang masuk biasanya merupakan bagian kecil dari total; maka Persamaan 6.2-9 menyusut menjadi bentuk tabung panjang:
dan f dapat dievaluasi secara eksperimental dari Persamaan 6.1-4, yang ditulis untuk aliran yang sepenuhnya berkembang pada bagian masuk dan keluar.
Persamaan 6.2-9 dan 10 adalah hasil yang berguna karena memberikan panduan untuk penyajian data yang sistematis mengenai laju aliran terhadap perbedaan tekanan untuk aliran laminar dan turbulen dalam tabung melingkar. Untuk tabung panjang, kita hanya memerlukan satu kurva f yang digambarkan terhadap kombinasi tunggal D〈vz〉ρ/μ. Bayangkan betapa lebih sederhana hal ini dibandingkan dengan menggambarkan penurunan tekanan terhadap laju aliran untuk nilai terpisah dari D, L, ρ, dan μ, yang mungkin dilakukan oleh mereka yang belum berpengalaman.
Terdapat banyak informasi eksperimental mengenai penurunan tekanan terhadap laju aliran dalam tabung, sehingga f dapat dihitung dari data eksperimen menggunakan Persamaan 6.1-4. Kemudian, f dapat digambarkan terhadap Re untuk tabung halus untuk mendapatkan kurva solid yang ditunjukkan pada Gambar 6.2-2. Kurva solid ini menggambarkan perilaku laminar dan turbulen untuk fluida yang mengalir dalam tabung panjang, halus, dan melingkar.
Perhatikan bahwa kurva laminar pada grafik faktor gesekan hanyalah sebuah plot dari persamaan Hagen-Poiseuille dalam Persamaan 2.3-21. Hal ini dapat dilihat dengan memasukkan ekspresi untuk P_0 – P_L dari Persamaan 2.3-21 ke dalam Persamaan 6.1-4 dan menggunakan hubungan ω = ρ〈vz〉πR² ini menghasilkan:
di mana Re = D〈vz〉ρ/μ; ini adalah tepatnya garis laminar dalam Gambar 6.2-2. Kurva turbulen yang serupa telah dibuat menggunakan data eksperimental. Beberapa ekspresi curve-fit analitik juga tersedia. Sebagai contoh, Persamaan 5.1-6 dapat disusun menjadi bentuk berikut:
Gambar 6.2-2 menunjukkan faktor gesekan untuk aliran dalam tabung (lihat definisi f dalam Persamaan 6.1-2 dan 6.1-3). Kurva ini berasal dari karya L. F. Moody dalam Trans. ASME, 66, 671-684 (1944), sebagaimana disajikan dalam buku Unit Operations of Chemical Engineering oleh W. L. McCabe dan J. C. Smith, McGraw-Hill, New York (1954).
Dikenal sebagai rumus Blasius. Persamaan 5.5-1 (dengan 2,5 diganti dengan 2,45 dan 1,75 diganti dengan 2,00) setara dengan
yang dikenal sebagai rumus Prandtl. Akhirnya, sesuai dengan Persamaan 5.5-2, kita memiliki
dan a = 3/(2 ln Re). Hal ini ditemukan mewakili data eksperimental dengan baik untuk 3.07 Χ 10^3 < Re < 3.23 Χ 10^6. Persamaan 6.2-14 disebut rumus Barenblatt.
Hubungan lebih lanjut, yang mencakup kurva putus-putus untuk pipa kasar dalam Gambar 6.2-2, adalah persamaan empiris Haaland.
Persamaan ini dinyatakan memiliki akurasi dalam 1,5%. Seperti yang terlihat pada Gambar 6.2-2, resistansi gesekan terhadap aliran meningkat seiring dengan tinggi k dari tonjolan. Tentu saja, k harus masuk ke dalam korelasi secara tak berdimensi dan karenanya muncul melalui rasio k/D.
Untuk aliran turbulen dalam tabung tidak melingkar, umum digunakan pendekatan empiris berikut: Pertama, kita mendefinisikan “jari-jari hidraulik rata-rata” R_h sebagai berikut:
di mana S adalah penampang saluran dan Z adalah keliling basah. Kemudian kita dapat menggunakan Persamaan 6.1-4 dan Gambar 6.2-2, dengan diameter D dari pipa melingkar digantikan oleh 4Rh. Artinya, kita menghitung perbedaan tekanan dengan menggantikan Persamaan 6.1-4 dengan
dan mendapatkan f dari Gambar 6.2-2 dengan angka Reynolds yang didefinisikan sebagai
Untuk aliran laminar dalam saluran tidak melingkar, metode ini kurang memuaskan.
Example 2.6-1: Penurunan tekanan yang diperlukan untuk laju aliran tertentu
Berapa gradien tekanan yang diperlukan untuk menyebabkan diethylaniline, C₁₀H₁₃N(C₂H₅)₂, mengalir dalam tabung melingkar halus dengan diameter dalam D = 3 cm pada laju massa 1028 g/s pada suhu 20°C? Pada suhu ini, kerapatan diethylaniline adalah ρ = 0,935 g/cm³ dan viskositasnya adalah μ = 1,95 cp.
SOLUTION
Angka Reynolds untuk aliran adalah
Dari Gambar 6.2-2, kita menemukan bahwa untuk angka Reynolds ini, faktor gesekan f memiliki nilai 0,0063 untuk tabung halus. Oleh karena itu, gradien tekanan yang diperlukan untuk mempertahankan aliran adalah (menurut Persamaan 6.1-4):