Faktor Gesekan untuk Kolom Berisi
FRICTION FACTORS FOR PACKED COLUMNS
Dalam dua bagian sebelumnya, kami telah membahas korelasi faktor gesekan untuk dua sistem aliran sederhana yang cukup luas. Grafik faktor gesekan tersedia untuk berbagai sistem lain, seperti aliran melintang melewati silinder, aliran melintasi rangkaian tabung, aliran di dekat baffle, dan aliran di dekat disk yang berputar. Sistem-sistem ini dan banyak lagi dirangkum dalam berbagai karya referensi. Salah satu sistem kompleks yang sangat menarik dalam teknik kimia adalah kolom berisi, yang banyak digunakan untuk reaktor katalitik dan proses pemisahan.
Ada dua pendekatan utama untuk mengembangkan ekspresi faktor gesekan untuk kolom berisi. Dalam satu metode, kolom berisi divisualisasikan sebagai kumpulan tabung yang saling melilit dengan penampang yang tidak biasa; teori kemudian dikembangkan dengan menerapkan hasil sebelumnya untuk tabung lurus tunggal ke kumpulan tabung yang bengkok ini. Dalam metode kedua, kolom berisi dianggap sebagai kumpulan objek tenggelam, dan penurunan tekanan diperoleh dengan menjumlahkan resistansi partikel yang tenggelam. Teori rangkaian tabung sedikit lebih berhasil, dan kami akan membahasnya di sini. Gambar 6.4-1(a) menggambarkan kolom berisi, dan Gambar 6.4-1(b) menggambarkan model rangkaian tabung.
Berbagai bahan dapat digunakan untuk pengisian dalam kolom: bola, silinder, saddle Berl, dan sebagainya. Diasumsikan dalam diskusi berikut bahwa pengisi adalah uniform secara statistik, sehingga tidak ada “channeling” (dalam praktik nyata, channeling sering terjadi, dan pengembangan yang diberikan di sini tidak berlaku). Diasumsikan juga bahwa diameter partikel pengisi kecil dibandingkan dengan diameter kolom tempat pengisian berada, dan diameter kolomnya seragam.
Kami mendefinisikan faktor gesekan untuk kolom berisi secara analog dengan Persamaan 6.1-4:
di mana L adalah panjang kolom yang dipenuhi, D_p adalah diameter partikel efektif (akan didefinisikan), dan v0 adalah kecepatan superfisial; ini adalah laju aliran volumetrik dibagi dengan penampang kolom kosong, v0 = w/ρS. Penurunan tekanan melalui tabung representatif dalam model bundel tabung diberikan oleh Persamaan 6.2-17
Gambar 6.4-1. (a) Sebuah tabung silindris diisi dengan bola-bola; (b) model “bundel tabung” untuk kolom berisi bola seperti pada (a).
Di mana faktor gesekan untuk satu tabung, f_tube adalah fungsi dari bilangan Reynolds Re_h = 4R_h<v>ρ\μ. Ketika perbedaan tekanan ini disubstitusikan ke dalam Persamaan 6.4-1, kita mendapatkan
Dalam ekspresi kedua, kami telah memperkenalkan fraksi kekosongan, ε, yaitu fraksi ruang dalam kolom yang tidak ditempati oleh pengisi. Kemudian v0= <v>ε, yang berasal dari definisi kecepatan superfisial. Sekarang kita membutuhkan ekspresi untuk R_h.
Jari-jari hidraulik dapat dinyatakan dalam bentuk fraksi kekosongan ε dan luas permukaan basah aa per satuan volume tempat tidur sebagai berikut:
Kuantitas a terkait dengan “permukaan spesifik” a_v (total permukaan partikel per volume partikel) melalui:
Kuantitas a_v pada gilirannya digunakan untuk mendefinisikan diameter partikel rata-rata D_p sebagai berikut:
Definisi ini dipilih karena, untuk bola dengan diameter seragam, D_p adalah diameter bola itu sendiri. Dari tiga persamaan terakhir, kita memperoleh bahwa jari-jari hidrolik adalah R_h = D_pε/6(1-ε). Ketika ini dimasukkan ke dalam Persamaan 6.4-3, kita mendapatkan:
Kita sekarang menyesuaikan hasil ini untuk aliran laminar dan turbulen dengan memasukkan ekspresi yang sesuai untuk f_tube.
(a) Untuk aliran laminar dalam tabung, f_tube = 16/Re_h. Ini akurat hanya untuk tabung melingkar. Untuk mengakomodasi permukaan non-silindris dan jalur fluida yang berliku-liku dalam operasi kolom berisi, ditemukan bahwa mengganti 16 dengan 100/3 memungkinkan model kumpulan tabung untuk menggambarkan data kolom berisi. Ketika ekspresi modifikasi ini untuk faktor gesekan tabung digunakan, Persamaan 6.4-7 menjadi:
di mana G_0 = ρv0 adalah aliran massa melalui sistem. Ketika ekspresi ini untuk f disubstitusikan ke dalam Persamaan 6.4-1, kita mendapatkan:
yang merupakan persamaan Blake-Kozeny. Persamaan 6.4-8 dan 6.4-9 umumnya baik untuk \( (D_p G_0 /μ(1-ε)) < 10 dan untuk fraksi kosong ε < 0.5 \).
(b) Untuk aliran turbulen tinggi, kita memulai lagi dengan ekspresi untuk faktor gesekan dalam tabung silinder. Namun, kali ini kita mencatat bahwa, untuk aliran turbulen tinggi dalam tabung dengan kekasaran yang signifikan, faktor gesekan hanya bergantung pada kekasaran dan tidak bergantung pada angka Reynolds. Jika kita anggap bahwa tabung dalam semua kolom yang dikemas memiliki karakteristik kekasaran yang serupa, maka nilai f_tube dapat dianggap sebagai konstanta yang sama untuk semua sistem. Memilih f_tube = 7/12 terbukti merupakan pilihan yang diterima. Ketika ini dimasukkan ke dalam Persamaan 6.4-7, kita mendapatkan:
Ketika ini dimasukkan ke dalam Persamaan 6.4-1, kita mendapatkan:
Ini adalah persamaan Burke-Plummer, berlaku untuk (D_p G_0 /μ(1-ε)) > 1000. Perhatikan bahwa ketergantungan terhadap fraksi void berbeda dari aliran laminar.
(c) Untuk daerah transisi, kita dapat menggabungkan ekspresi penurunan tekanan dari (a) dan (b) di atas untuk mendapatkan:
Untuk aliran dengan v_o yang sangat kecil, ini menyederhanakan menjadi persamaan Blake-Kozeny, dan untuk v_o yang sangat besar, menjadi persamaan Burke-Plummer. Penggabungan empiris dari asimtot ini sering menghasilkan hasil yang memuaskan. Persamaan 6.4-12 dapat diubah untuk membentuk kelompok dimensi tanpa dimensi:
Ini adalah persamaan Ergun, yang ditunjukkan pada Gambar 6.4-2 bersama dengan persamaan Blake-Kozeny dan Burke-Plummer serta data eksperimen. Persamaan ini telah diterapkan dengan sukses untuk aliran gas melalui kolom yang terisi dengan menggunakan densitas gas pada rata-rata aritmetik dari tekanan akhir. Perhatikan bahwa G_o konstan sepanjang kolom, sedangkan v_o berubah sepanjang kolom untuk fluida yang dapat dikompresi. Untuk penurunan tekanan yang besar, lebih sesuai untuk menerapkan Persamaan 6.4-12 secara lokal dengan mengekspresikan gradien tekanan dalam bentuk diferensial.
Persamaan Ergun adalah salah satu dari banyak persamaan yang telah diusulkan untuk mendeskripsikan kolom terisi. Misalnya, persamaan Tallmadge.
Dilaporkan bahwa persamaan ini memberikan kesesuaian yang baik dengan data eksperimen untuk kisaran 0.1 < (D_p G_o / μ(1 – ε)) < 10^5.
Gambar 6.4-2. Persamaan Ergun untuk aliran dalam bed terisi, serta dua asimtot terkait, yaitu persamaan Blake-Kozeny dan persamaan Burke-Plummer [S. Ergun, Chem. Eng. Prog., 48, 89-94 (1952)].