HUKUM DISTRIBUSI PLANCK, HUKUM PERGESERAN WIEN, DAN HUKUM STEFAN-BOLTZMANN
PLANCK'S DISTRIBUTION LAW, WIEN'S DISPLACEMENT LAW, AND THE STEFAN-BOLTZMANN LAW
Hukum Stefan-Boltzmann dapat diturunkan dari termodinamika, dengan syarat hasil tertentu dari teori medan elektromagnetik diketahui. Secara spesifik, dapat ditunjukkan bahwa untuk radiasi rongga, kerapatan energi (yaitu, energi per satuan volume) di dalam rongga adalah
Karena energi radiasi yang dipancarkan oleh benda hitam tergantung hanya pada suhu, kerapatan energi u”‘ juga harus merupakan fungsi dari suhu saja. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa radiasi elektromagnetik memberikan tekanan p(‘) pada dinding rongga yang diberikan oleh
Hasil sebelumnya untuk radiasi rongga juga dapat diperoleh dengan mempertimbangkan rongga diisi dengan gas yang terdiri dari foton, masing-masing memiliki energi hv dan momentum hv/c. Sekarang kita menerapkan rumus termodinamika
ke gas foton atau radiasi di dalam rongga. Pemasukan 
ke dalam hubungan ini menghasilkan persamaan diferensial biasa berikut untuk 
Persamaan ini dapat diintegrasikan untuk memberikan
di mana b adalah konstanta integrasi. Kombinasi hasil ini dengan Persamaan 16.3-1 memberikan energi radiasi yang dipancarkan dari permukaan benda hitam per satuan area per satuan waktu:
Ini adalah hukum Stefan-Boltzmann. Perhatikan bahwa pengembangan termodinamika tidak memprediksi nilai numerik dari σ.
Cara kedua untuk menyimpulkan Hukum Stefan-Boltzmann adalah dengan mengintegrasikan Hukum Distribusi Planck. Persamaan terkenal ini memberikan fluks energi radiasi qg dari permukaan hitam dalam rentang panjang gelombang λ hingga λ + dλ:
Di sini h adalah konstanta Planck. Hasil ini dapat diturunkan dengan menerapkan statistik kuantum pada gas foton dalam suatu rongga, di mana foton mengikuti statistik Bose-Einstein. Distribusi Planck, yang ditunjukkan pada Gambar 16.3-1, dengan benar memprediksi seluruh kurva energi versus panjang gelombang dan pergeseran maksimum ke arah panjang gelombang yang lebih pendek pada suhu yang lebih tinggi. Ketika Persamaan 16.3-7 diintegrasikan di seluruh panjang gelombang, kita mendapatkan
Dalam integrasi di atas, kita mengubah variabel integrasi dari λ menjadi x = ch/λkT. Kemudian, integrasi terhadap x dilakukan dengan mengembangkan 1/(ex – 1) dalam deret Taylor pada 8 (lihat 5C.2) dan mengintegrasikan setiap suku. Pendekatan statistik kuantum demikian memberikan rincian distribusi spektral radiasi dan juga ekspresi untuk konstanta Stefan-Boltzmann.
memiliki nilai 1.355 x 10^(-10) cal/s·cm²·K, yang dikonfirmasi dalam ketidakpastian eksperimen melalui pengukuran radiasi langsung. Persamaan 16.3-9 adalah formula yang luar biasa, yang mengaitkan α dari radiasi, K dari mekanika statistik, kecepatan cahaya c dari elektromagnetisme, dan h dari mekanika kuantum.
Selain memperoleh hukum Stefan-Boltzmann dari distribusi Planck, kita dapat mendapatkan hubungan penting yang berkaitan dengan maksimum dalam distribusi Planck. Pertama,
kita menulis ulang Persamaan 16.3-7 dalam bentuk x dan kemudian menetapkan dqg/dx = 0. Ini memberikan persamaan berikut untuk x,,, yaitu nilai x di mana distribusi Planck menunjukkan maksimum:
Solusi untuk persamaan ini ditemukan secara numerik menjadi x = 4.9651… Oleh karena itu, pada suhu T yang diberikan,
Dengan memasukkan nilai-nilai dari konstanta universal dan nilai untuk x, kita kemudian mendapatkan
Hasil ini, yang awalnya ditemukan secara eksperimen, dikenal sebagai hukum pergeseran Wien. Ini berguna terutama untuk memperkirakan suhu objek yang jauh. Hukum ini memprediksi, sesuai dengan pengalaman, bahwa warna radiasi yang tampak bergerak dari merah (panjang gelombang panjang) menuju biru (panjang gelombang pendek) seiring dengan peningkatan suhu.
Akhirnya, kita dapat menafsirkan kembali beberapa pernyataan sebelumnya dalam istilah hukum distribusi Planck. Dalam Gambar 16.3-2, kita telah menggambar tiga kurva: hukum distribusi Planck untuk benda hitam hipotetis, kurva distribusi untuk benda abu-abu hipotetis, dan kurva distribusi untuk beberapa benda nyata. Dengan demikian, jelas bahwa ketika kita menggunakan nilai emissivity total, seperti yang terdapat dalam Tabel 16.2-1, kita hanya menghitung secara empiris penyimpangan dari hukum Planck di seluruh spektrum. Kita tidak boleh meninggalkan topik distribusi Planck tanpa menunjukkan bahwa Persamaan 16.3-7 disajikan pada pertemuan Masyarakat Fisika Jerman pada bulan Oktober 1900 sebagai
sebuah empirisme yang sesuai dengan data yang tersedia. Namun, sebelum akhir tahun, Planck berhasil menurunkan persamaan tersebut, tetapi dengan mengorbankan pengenalan gagasan radikal tentang kuantisasi energi, sebuah ide yang diterima dengan sedikit antusiasme. Planck sendiri memiliki keraguan, seperti yang dinyatakan dengan jelas dalam buku teksnya. Dalam sebuah surat pada tahun 1931, ia menulis: “. . . apa yang saya lakukan dapat digambarkan sebagai tindakan putus asa. . . . Saya telah berjuang tanpa hasil selama enam tahun. . . dengan masalah keseimbangan antara radiasi dan materi, dan saya tahu bahwa masalah tersebut adalah hal yang sangat penting. . .” Kemudian Planck melanjutkan untuk mengatakan bahwa ia “siap mengorbankan setiap satu dari keyakinan sebelumnya tentang hukum fisika” kecuali untuk hukum pertama dan kedua termodinamika. Usulan radikal Planck menandai dimulainya era fisika yang baru dan menarik, dan mekanika kuantum menyusup ke dalam kimia dan bidang lainnya pada abad kedua puluh.
Example 16.3-1: Suhu dan Emisi Energi Radiasi Matahari
Untuk perhitungan yang mendekati, matahari dapat dianggap sebagai benda hitam, memancarkan radiasi dengan intensitas maksimum pada h = 0,5 mikron (5000 A). Dengan informasi ini, estimasi (a) suhu permukaan matahari, dan (b) fluks panas yang dipancarkan di permukaan matahari.
SOLUTION
(a) Dari hukum pergeseran Wien, Persamaan 16.3-12,
(b) Dari hukum Stefan-Boltzmann, Persamaan 16.2-10,
Gambar 16.4-1. Radiasi pada sudut θ dari normal permukaan ke dalam sudut padat sin θ dθ dφ.