HUKUM KONDUKSI PANAS FOURIER (TRANSPORTASI ENERGI MOLEKULER)
FOURIER'S LAW OF HEAT CONDUCTION (MOLECULAR ENERGY TRANSPORT)
Misalkan ada sebuah lempeng material padat dengan luas A yang terletak di antara dua pelat paralel besar yang berjarak Y. Pada awalnya (untuk waktu t < 0, material padat tersebut berada pada suhu T₀ di seluruh bagian. Pada waktu t = 0, pelat bawah tiba-tiba dipanaskan hingga suhu yang sedikit lebih tinggi, T₁, dan suhu tersebut dipertahankan. Seiring waktu, profil suhu di dalam lempeng berubah, dan akhirnya terbentuk distribusi suhu steady-state linear (seperti ditunjukkan pada Gambar 9.1-1). Ketika kondisi steady-state ini tercapai, diperlukan laju aliran panas konstan Q melalui lempeng untuk mempertahankan perbedaan suhu ΔT = T₁ – T₀. Ditemukan bahwa untuk nilai ΔT yang cukup kecil, hubungan berikut berlaku:
Artinya, laju aliran panas per unit area sebanding dengan penurunan suhu sepanjang jarak Y. Konstanta proporsionalitas k adalah konduktivitas termal lempengan. Persamaan 9.1-1 juga berlaku jika cairan atau gas diletakkan di antara dua pelat, asalkan langkah-langkah yang sesuai diambil untuk menghilangkan konveksi dan radiasi. Dalam bab-bab berikutnya, lebih baik bekerja dengan persamaan di atas dalam bentuk diferensial. Yaitu, kita menggunakan bentuk batas dari Persamaan 9.1-1 saat ketebalan lempengan mendekati nol. Laju aliran panas lokal per unit area (fluks panas) dalam arah positif y dilambangkan dengan q_y Dalam notasi ini, Persamaan 9.1-1 menjadi:
Persamaan ini, yang digunakan untuk mendefinisikan k, adalah bentuk satu dimensi dari hukum konduksi panas Fourier. Ini menyatakan bahwa fluks panas melalui konduksi sebanding dengan gradien suhu, atau dengan kata lain, “panas mengalir menurun pada grafik suhu versus jarak.” Sebenarnya, Persamaan 9.1-2 bukanlah “hukum” alam, tetapi lebih merupakan saran yang terbukti sangat berguna. Namun, ia memiliki dasar teoretis, seperti dibahas dalam Lampiran D.
Persamaan ini, yang digunakan untuk mendefinisikan **k**, adalah bentuk satu dimensi dari hukum konduksi panas Fourier. Ini menyatakan bahwa fluks panas melalui konduksi sebanding dengan gradien suhu, atau dengan kata lain, “panas mengalir menurun pada grafik suhu versus jarak.” Sebenarnya, Persamaan 9.1-2 bukanlah “hukum” alam, tetapi lebih merupakan saran yang terbukti sangat berguna. Namun, ia memiliki dasar teoretis, seperti dibahas dalam Lampiran D.
Gambar 9.1-1. Perkembangan profil suhu steady-state untuk lempeng padat di antara dua pelat paralel. Lihat Gambar 1.1-1 untuk situasi serupa pada transportasi momentum.
Jika suhu bervariasi di ketiga arah, maka kita dapat menulis persamaan seperti Persamaan 9.1-2 untuk setiap arah koordinat.
Jika setiap persamaan ini dikalikan dengan vektor unit yang sesuai dan kemudian dijumlahkan, kita mendapatkan:
Ini adalah bentuk tiga dimensi dari hukum Fourier. Persamaan ini menggambarkan transportasi molekuler panas dalam media isotropik. “Isotropik” berarti material tidak memiliki arah preferensi, sehingga panas dikonduksikan dengan konduktivitas termal k yang sama di semua arah.
Beberapa padatan, seperti kristal nonkubik tunggal, material berserat, dan laminat, adalah anisotropik. Untuk zat-zat seperti ini, Persamaan 9.1-6 harus digantikan dengan:
Dalam hal ini, K adalah tensor orde kedua simetris yang disebut tensor konduktivitas termal. Dengan demikian, vektor fluks panas tidak mengarah ke arah yang sama dengan gradien suhu. Pada cairan polimer dalam aliran geser vₓ(y, t), konduktivitas termal dapat meningkat hingga 20% di arah x dan menurun 10% di arah z dibandingkan dengan nilai kesetimbangannya. Konduksi panas anisotropik pada media berpori dibahas secara singkat di §9.6.
Salah satu generalisasi kemungkinan dari Persamaan 9.1-6 adalah dengan menyertakan istilah yang mengandung turunan waktu dari q yang dikalikan dengan konstanta waktu, sejalan dengan model Maxwell dari viskoelastisitas linier dalam Persamaan 8.4-3. Namun, tampaknya sedikit bukti eksperimen yang menunjukkan bahwa generalisasi semacam itu diperlukan.
Pembaca mungkin telah memperhatikan bahwa Persamaan 9.1-2 untuk konduksi panas dan Persamaan 1.1-2 untuk aliran viskos sangat mirip. Dalam kedua persamaan, fluks sebanding dengan negatif gradien variabel makroskopik, dan koefisien proporsionalitas adalah sifat fisik yang khas dari material dan bergantung pada suhu dan tekanan.
Untuk situasi di mana ada transportasi tiga dimensi, Persamaan 9.1-6 untuk konduksi panas dan Persamaan 1.2-7 untuk aliran viskos berbeda penampilannya. Perbedaan ini muncul karena energi adalah skalar, sedangkan momentum adalah vektor, dan fluks panas q adalah vektor dengan tiga komponen, sedangkan fluks momentum I adalah tensor orde kedua dengan sembilan komponen. Kita dapat mengantisipasi bahwa transportasi energi dan momentum umumnya tidak akan matematis analog, kecuali dalam situasi geometris tertentu yang sederhana.
Selain konduktivitas termal k yang didefinisikan oleh Persamaan 9.1-2, kuantitas yang dikenal sebagai difusivitas termal α banyak digunakan. Difusivitas termal didefinisikan sebagai:
Di sini, Sᵦ adalah kapasitas panas pada tekanan konstan; simbol dengan aksen (^) menunjukkan kuantitas “per unit massa.” Kadang-kadang kita perlu menggunakan simbol dengan tilde (~) yang berarti kuantitas “per mol.”
Difusivitas termal α memiliki dimensi yang sama dengan viskositas kinematik ν, yaitu (panjang)²/waktu. Ketika diasumsikan bahwa sifat fisik konstan, kuantitas ν dan α muncul dengan cara yang mirip dalam persamaan perubahan untuk transportasi momentum dan energi. Rasio ν/α menunjukkan kemudahan relatif dalam transportasi momentum dan energi dalam sistem aliran. Rasio tanpa dimensi ini:
Rasio ini disebut angka Prandtl Pr. Kelompok tanpa dimensi lainnya yang akan kita temui di bab-bab berikutnya adalah angka Péclet: Pe = RePr.
Satuan yang umum digunakan untuk konduktivitas termal dan kuantitas terkait diberikan dalam Tabel 9.1-1. Satuan lainnya, serta hubungan antar berbagai sistem, dapat ditemukan di Lampiran F.
Konduktivitas termal dapat bervariasi dari sekitar 0,01 W/m·K untuk gas hingga sekitar 1000 W/m·K untuk logam murni. Beberapa nilai eksperimen dari konduktivitas termal gas, cairan, logam cair, dan padatan diberikan dalam Tabel 9.1-2, 9.1-3, 9.1-4, dan 9.1-5. Dalam perhitungan, nilai eksperimen harus digunakan jika memungkinkan. Jika data eksperimen tidak tersedia, estimasi dapat dilakukan menggunakan metode yang dijelaskan di beberapa bagian berikutnya atau dengan merujuk berbagai buku pegangan teknik.
Example 9.1-1: Pengukuran Konduktivitas Termal
Sebuah panel plastik dengan luas A = 1 ft² dan ketebalan Y = 0,252 in, ditemukan menghantarkan panas pada laju 3,0 W dalam keadaan steady-state dengan suhu T₀ = 24,00°C danT₁ = 26,00°C yang diterapkan pada kedua permukaan utama. Berapakah konduktivitas termal plastik dalam satuan cal/cm·s·K pada suhu 25°C?
SOLUTION
Pertama, konversikan satuan dengan bantuan Lampiran F.
Substitusi ke dalam Persamaan 9.1-1 kemudian memberikan:
Untuk ΔT sebesar 2°C, masuk akal untuk mengasumsikan bahwa nilai k berlaku pada suhu rata-rata, yaitu 25°C. Lihat Masalah 10B.12 dan 10C.1 untuk metode mempertimbangkan variasi k dengan suhu.
