13.2.1 Forward Euler Scheme
Forward Euler scheme. Untuk mengevaluasi istilah transien, diperlukan ekspansi Taylor dari kuantitas yang diperoleh sepanjang arah waktu. Pada kasus pertama ini, ekspansi dilakukan secara maju tentang waktu t. Artinya untuk suatu fungsi T, nilainya pada waktu t + Δt diekspresikan menggunakan deret Taylor dalam hal nilai-nilai T dan turunannya pada waktu t sebagai:
Dengan memutuskan deret dimulai dengan istilah orde 
, turunan pertama dapat dirumuskan sebagai:
Sekarang ini merupakan diskritisasi orde pertama karena persamaan tersebut dibagi dengan 
untuk menghasilkan perkiraan gradien. Mengganti T dengan 
dalam Persamaan (13.6) dan mengganti ekspresi hasil untuk turunan dalam Persamaan (13.3), persamaan diskritisasi menjadi:
The transient stencil for Eq. (13.7) shown in Fig. 13.4, indicates that the compu-
tation of 
at time t + Δt does not require solving a system of equations.Rather, values of 
at time t + Δt can be computed explicitly based on values from the previous time step since all spatial terms are evaluated at the old time
t. The resulting scheme belongs to the class denoted by explicit transient schemes
[5–12]. The main characteristic of all explicit transient schemes is their capability of
generating solutions by marching in time without the need to solve a system of
equations at each time level. This provides a high computational efficiency and
simplifies the parallelization of the computational mesh. Yet only few commercial
codes have adopted this approach and for an important reason related to a limitation
on the size of , which will be discussed in the next section.
Substituting the discretized algebraic relation of the spatial operator into
Eq. (13.7), the complete algebraic equation is obtained as
dimana
Dalam persamaan di atas, 
dan 
adalah koefisien diagonal yang dihasilkan dari diskritisasi istilah transien, 
dan 
adalah nilai pada tingkat waktu t + Δt secara berturut-turut, dan 
adalah koefisien yang diperoleh dari diskritisasi spasial.
Untuk menyederhanakan notasi, dalam bab ini variabel yang merujuk pada nilai yang diperoleh pada langkah waktu sebelumnya akan ditunjukkan dengan superskrip ° dan variabel yang merujuk pada nilai yang diperoleh dua langkah waktu sebelumnya akan ditunjukkan dengan superskrip °°. Di sisi lain, tidak akan ada superskrip yang digunakan untuk menunjukkan variabel pada langkah waktu saat ini kecuali untuk koefisien dari istilah tidak stabil yang mengalikan yang akan ditunjukkan dengan superskrip . Mengadopsi notasi baru, Persamaan (13.8) dan (13.9) menjadi:
dimana
Persamaan (13.10) dapat diubah menjadi:
dengan jelas menunjukkan bahwa nilai-nilai φ pada langkah waktu saat ini dihitung melalui hubungan eksplisit tanpa menyelesaikan sistem persamaan.