13.3.2 First Order Implicit Euler Scheme

First order implicit Euler scheme. Skema Euler implisit orde pertama untuk transien diperoleh dengan menggunakan profil interpolasi “upwind” orde pertama [14, 17]. Seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 13.11, nilai pada permukaan elemen temporal diatur sama dengan nilai pada sentroid elemen upwind untuk memberikan

Using Eq. (13.60), Eq. (13.57) becomes

Ini adalah skema Euler implisit orde pertama. Skema ini dilinearisasikan sebagai berikut:

13.3.2.1 Numerical Diffusion

Karena ini adalah skema orde pertama, diharapkan, berdasarkan pengetahuan yang diperoleh dari skema konveksi, akan menghasilkan difusi numerik. Nilainya dapat ditentukan dengan mencoba memulihkan persamaan dasar asli menggunakan ekspansi deret Taylor sekitar waktu t. Nilai dari dapat diekspresikan sebagai

yang dapat diubah menjadi

Ini dapat diubah menjadi:

Menggantikan Persamaan (13.64) ke dalam persamaan yang terdiskritisasi memberikan

Pada dasarnya, sebuah istilah difusi numerik telah ditambahkan ke dalam persamaan yang berskala dengan langkah waktu dengan cara yang mirip dengan skema upwind untuk istilah adveksi. Jadi, meskipun skema ini stabil tanpa syarat, solusi yang dihasilkannya sebenarnya merupakan solusi stasioner untuk langkah waktu yang besar.