13.3.3 First Order Explicit Euler Scheme

First order explicit Euler scheme. Skema Euler eksplisit orde pertama untuk transien diperoleh dengan menggunakan profil interpolasi “downwind” orde pertama [4, 18]. Seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 13.12, nilai pada

permukaan elemen temporal diatur sama dengan nilai pada sentroid elemen downwind, menghasilkan

Menggunakan Persamaan (13.66), Persamaan (13.57) menjadi

Ini adalah skema Euler eksplisit orde pertama. Skema ini dilinearisasikan sebagai berikut:

Perhatikan bahwa sekarang waktu baru berada pada dan bahwa operator spasial dari Persamaan (13.67) harus dievaluasi pada waktu t. Oleh karena itu, adalah mungkin untuk mengevaluasi sisi kanan sepenuhnya dan menemukan nilai pada waktu tanpa perlu memecahkan serangkaian persamaan aljabar linear. Ini adalah skema eksplisit dan sesuai dengan asumsi bahwa berlaku selama seluruh langkah waktu.

13.3.3.1 Numerical Anti-Diffusion

Sekali lagi melakukan ekspansi Taylor sederhana sekitar waktu t menghasilkan

yang dapat ditulis ulang sebagai

Substitusi ke dalam Persamaan (13.67) memberikan

Di mana sekarang istilah diferensial orde dua memiliki tanda negatif, mirip dengan difusi negatif atau anti-difusi, dengan efek kompresi pada profil, sangat mirip dengan skema Downwind dalam adveksi. Sekali lagi, istilah anti-difusi berskala dengan langkah waktu. Ketika digunakan dalam kombinasi dengan skema konveksi upwind dan nomor Courant sebesar 1, dapat ditunjukkan bahwa difusi numerik dari skema adveksi dan anti-difusi numerik dari skema Euler eksplisit untuk sama dengan 1 memiliki magnitudo yang sama dan tanda yang berlawanan. Dengan demikian, mereka saling membatalkan menghasilkan solusi yang hampir eksak. Namun demikian, ini tidak praktis karena memastikan sebesar 1 pada selain grid satu dimensi yang sederhana bukanlah pilihan untuk masalah nyata. Masalah terkait dengan perilaku anti-difusi adalah instabilitas numerik, yang meningkat dengan meningkatnya menempatkan batasan yang sangat kuat pada langkah waktu. Ini dapat dievaluasi dengan menerapkan aturan koefisien tetangga negatif.