5.22 Mengatasi untuk energi

5.22 Memecahkan persamaan untuk energi

Memecahkan oersamaan untuk energi. Contoh-contoh dengan konservasi energi dalam bab ini mengasumsikan konstan untuk menghasilkan persamaan transportasi untuk T dalam Pers. (2.65). Ketika tidak dapat diasumsikan konstan, umumnya untuk menyelesaikan persamaan untuk energi internal e sebagai gantinya, contohnya Pers. (2.60) dengan turunan materi digantikan menggunakan Pers. (2.14).

@--e-+ r ( ue) r rT = 0: @t \relax \special {t4ht=

(5.39)

Persamaan ini dapat didiskritisasi untuk membentuk persamaan matriks , dari mana e dapat diselesaikan. Tantangannya adalah bahwa istilah difusi tidak dinyatakan dalam istilah e, sehingga didiskritisasi secara eksplisit, yang mempengaruhi konvergensi secara negatif.

Untuk meningkatkan konvergensi, diperkenalkan istilah implisit yang serupa dalam bentuk dan skala dengan istilah masalah. Untuk persamaan energi Pers. (5.39), kita menggunakan , di mana difusivitas dihitung sebagai fungsi dari .

Istilah tambahan tersebut baik “ditambahkan maupun dikurangkan” dalam bentuk implisit dan eksplisit. Hal ini memiliki efek meningkatkan kontribusi koefisien matriks, sambil membatalkan sebagian besar kontribusi eksplisit dari , seperti yang diilustrasikan di bawah ini.

Prosedur solusi secara keseluruhan melibatkan pembaruan pertama e dari T dari hubungan termodinamika, misalnya Pers. (2.62). Persamaan untuk e kemudian dipecahkan, dan solusi berikutnya untuk e dikonversi kembali ke T.

Jika dinyatakan sebagai fungsi polinomial dari T, Pers. (2.64), maka T dikonversi ke e menggunakan integral analitis dari Pers. (2.62).

(5.40)

Dari suhu ke energi

Konversi dari e ke T lebih kompleks karena T tidak bisa dibuat sebagai subjek Pers. (5.40). Sebagai gantinya, dapat “dibalik” menggunakan skema iteratif seperti metode Newton-Raphson,8 yang untuk masalah ini adalah:

T ℬ T e(T-)---e = T e(T-)---e: @e=@T cV(T ) \relax \special {t4ht=

(5.41)

T diperbarui dari e saat ini menggunakan ) yang dievaluasi dan polinomial cv(T), yaitu Pers. (5.40) dan Pers. (2.64) masing-masing. Satu iterasi seringkali sudah cukup agar kesalahan berada dalam toleransi yang ditentukan, namun iterasi lebih lanjut dari Pers. (5.41) dapat diterapkan jika diperlukan.

Kondisi batas

Kondisi batas untuk persamaan energi umumnya ditentukan dalam hal T. Tetapi karena kondisi tersebut harus diterapkan pada variabel yang sedang diselesaikan, maka harus diungkapkan kembali dalam hal e. Kondisi nilai tetap dikonversi menjadi kondisi yang setara untuk , misalnya dengan menggunakan Pers. (5.40). Kondisi gradien tetap untuk T dikonversi menjadi kondisi gradien tetap untuk dengan e oleh

$rneb cVrnTb : \relax \special {t4ht=$

(5.42)