9.3 Least-Square Gradient
Least-square gradient. Menggunakan metode kuadrat terkecil untuk menghitung gradien [5] menawarkan lebih banyak fleksibilitas dalam hal urutan akurasi yang dicapai [6] dan stencil yang digunakan [7]. Dalam metode kuadrat terkecil, gradien berbasis divergensi dapat dipulihkan sebagai kasus khusus. Fleksibilitas ini datang dengan biaya, karena pembobotan yang tepat diperlukan untuk istilah-istilah stencil, dan perhitungan pembobotan menambah biaya komputasi. Metode ini dijelaskan selanjutnya.
Mempertimbangkan suatu volume kendali dan tetangga-tetangganya yang langsung (Gambar 9.8), perubahan nilai pusat massa antara C dan F diberikan oleh 
jika gradien sel 
adalah tepat, maka perbedaan tersebut juga dapat dihitung sebagai
Namun, kecuali lapangan solusinya linear, gradien sel tidak dapat menjadi tepat karena C memiliki lebih banyak tetangga daripada yang dimiliki vektor gradien. Dalam metode kuadrat terkecil, gradien dihitung melalui prosedur optimisasi yang menemukan minimum dari fungsi 
yang didefinisikan sebagai
di mana 
adalah faktor pembobotan tertentu. Berbagai istilah dalam persamaan di atas mewakili
Fungsi GC diminimalkan dengan menerapkan kondisi
untuk menghasilkan set persamaan berikut dari tiga persamaan dalam tiga variabel yang tidak diketahui:
Solusi untuk set persamaan di atas menghasilkan gradien 
Solusi ada asalkan matriks di sisi kiri tidak singular. Selain itu, pilihan untuk penting dalam menentukan sifat-sifat gradien. Misalnya, jika dipilih menjadi 1 untuk semua tetangga C, maka semua titik tetangga akan memiliki bobot yang sama dalam perhitungan gradien terlepas dari apakah mereka dekat atau jauh dari titik C. Sebenarnya, titik-titik yang lebih jauh dari C akan memiliki pengaruh yang lebih penting karena fungsi kesalahan akan lebih dipengaruhi oleh kesalahan mereka. Pilihan lain untuk , yang digunakan sebelumnya dengan metode stensil yang diperluas, adalah jarak terbalik antara C dan F yang diberikan oleh
Pilihan lain yang dapat dikejar termasuk jarak terbalik yang dinaikkan ke pangkat n, sehingga
Seperti yang disebutkan di atas, gradien berbasis divergensi adalah kasus khusus dari formulasi kuadrat terkecil. Ini dapat ditunjukkan untuk grid Kartesian (lihat Gambar 9.9), di mana mengganti kuantitas geometris ke dalam Persamaan (9.27) akan menghasilkan set persamaan berikut.
Dengan memecahkan persamaan di atas, turunan dalam berbagai arah ditemukan menjadi
Nilai-nilai yang diperoleh persis seperti yang diberikan dalam Persamaan (9.3), menunjukkan bahwa gradien berbasis divergensi adalah kasus khusus dari metode kuadrat terkecil. Akhirnya, dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa akurasi gradien yang dihasilkan setidaknya orde pertama. Memang, ekspansi deret Taylor dari nilai 
di sekitar simpul C dapat ditulis sebagai.
yang ketika dipecahkan untuk
menghasilkan O(r).