Analisis Dimensi
Analisis dimensi. Untuk mengilustrasikan masalah mekanika fluida yang khas di mana eksperimen diperlukan, pertimbangkan aliran stabil dari fluida Newtonian yang tidak dapat dimampatkan melalui pipa melingkar horizontal, panjang, dan berdinding halus. Sebuah karakteristik penting dari sistem ini, yang akan menarik bagi seorang insinyur yang merancang pipa saluran, adalah penurunan tekanan per satuan panjang yang terjadi sepanjang pipa akibat gesekan. Meskipun ini mungkin terlihat sebagai masalah aliran yang relatif sederhana, umumnya tidak dapat diselesaikan secara analitis (bahkan dengan bantuan komputer besar) tanpa menggunakan data eksperimental.
Langkah pertama dalam perencanaan eksperimen untuk mempelajari masalah ini adalah memutuskan nilai ∆𝑝ℓ, yang diharapkan memiliki satuan yang sesuai dengan kasus yang sedang dipertimbangkan (misalnya, lb/ft², ft-lb/ft³, atau N/m³). Daftar variabel yang relevan mungkin termasuk diameter pipa (D), densitas fluida (ρ), viskositas fluida (μ), dan kecepatan rata-rata (V) di mana fluida mengalir melalui pipa. Dengan demikian, kita dapat menyatakan hubungan ini sebagai
Yang secara matematis menunjukkan bahwa kami mengharapkan penurunan tekanan per satuan panjang menjadi beberapa fungsi dari faktor-faktor yang terkandung dalam tanda kurung tersebut. Pada titik ini, sifat fungsi tersebut tidak diketahui, dan tujuan dari eksperimen yang akan dilakukan adalah untuk menentukan sifat dari fungsi ini.
Untuk melakukan eksperimen secara bermakna dan sistematis, akan diperlukan untuk mengubah salah satu variabel, seperti kecepatan, sambil mempertahankan semua yang lain tetap konstan, dan mengukur penurunan tekanan yang sesuai. Serangkaian tes ini akan menghasilkan data yang dapat direpresentasikan secara grafis seperti yang diilustrasikan dalam Gambar 7.1a. Perlu dicatat bahwa plot ini hanya berlaku untuk pipa tertentu dan untuk fluida tertentu yang digunakan dalam tes; ini tentu tidak memberikan formulasi umum yang kami cari. Kami bisa mengulangi proses ini dengan memvariasikan masing-masing variabel lainnya secara bergantian, seperti yang diilustrasikan dalam Gambar 7.1b, 7.1c, dan 7.1d. Pendekatan ini untuk menentukan hubungan fungsional antara penurunan tekanan dan berbagai faktor yang mempengaruhinya, meskipun logis dalam konsepnya, penuh dengan kesulitan. Beberapa eksperimen akan sulit dilakukan - misalnya, untuk mendapatkan data yang diilustrasikan dalam Gambar 7.1c, akan diperlukan untuk memvariasikan densitas fluida sambil mempertahankan viskositas konstan. Bagaimana Anda akan melakukannya? Akhirnya, setelah kami memperoleh berbagai kurva yang ditunjukkan dalam Gambar 7.1a, 7.1b, 7.1c, dan 7.1d, bagaimana kami bisa menggabungkan data ini untuk mendapatkan hubungan fungsional umum yang diinginkan antara ∇𝑝ℓ , 𝐷, 𝜌, 𝜇 , dan V yang akan berlaku untuk sistem pipa serupa apa pun?
Untungnya, ada pendekatan yang jauh lebih sederhana untuk masalah ini yang akan menghilangkan kesulitan tersebut. Pada bagian-bagian berikut, kami akan menunjukkan bahwa daripada bekerja dengan daftar variabel asli, seperti yang dijelaskan dalam Persamaan 7.1, kita dapat mengumpulkan ini menjadi dua kombinasi variabel tak berdimensi (yang disebut produk tak berdimensi atau grup tak berdimensi) sehingga
Oleh karena itu, daripada harus bekerja dengan lima variabel, sekarang kita hanya memiliki dua. Eksperimen yang diperlukan akan sederhana, hanya perlu memvariasikan produk tak berdimensi pVD /𝜇 dan menentukan nilai D ∇𝑝ℓ /pV2 yang sesuai. Hasil eksperimen kemudian dapat direpresentasikan oleh sebuah kurva tunggal, universal seperti yang diilustrasikan dalam Gambar 7.2. Kurva ini akan berlaku untuk kombinasi pipa berlapis halus dan fluida Newtonian tak dapat dimampatkan apa pun. Untuk memperoleh kurva ini, kita bisa memilih pipa dengan ukuran yang nyaman dan fluida yang mudah digunakan. Perlu dicatat bahwa kita tidak perlu menggunakan ukuran pipa yang berbeda atau bahkan fluida yang berbeda. Jelas bahwa eksperimen akan jauh lebih sederhana, lebih mudah dilakukan, dan lebih murah (yang pasti akan memberi kesan pada atasan Anda).
Dasar untuk penyederhanaan ini terletak pada pertimbangan dimensi dari variabel yang terlibat. Seperti yang dibahas di Bab 1, deskripsi kualitatif dari besaran fisik dapat diberikan dalam hal dimensi dasar seperti massa, M, panjang, L, dan waktu, T.1 Atau, kita bisa menggunakan gaya, F, L, dan T sebagai dimensi dasar, karena dari hukum kedua Newton
(Ingat dari Bab 1 bahwa notasi digunakan untuk menunjukkan kesetaraan dimensional.) Dimensi dari variabel-variabel dalam contoh aliran pipa adalah ∇𝑝ℓ = FL3, D =L, p=FL-4 T2, 𝜇 =FL-2T, dan V= LT -1. (Perhatikan bahwa penurunan tekanan per satuan panjang memiliki dimensi (F/L2)/L = FL-3). Pemeriksaan cepat terhadap dimensi dari dua kelompok yang muncul dalam Persamaan 7.2 menunjukkan bahwa mereka adalah produk tak berdimensi; yaitu,
Dan
