Conservation and Boundedness

Pada persamaan (2.14), turunan material mencakup istilah $\text{[math]}$ . Namun, istilah ini dapat memiliki bentuk $\text{[math]}$ , dengan menerapkan hukum konservasi massa pada persamaan (2.8), seperti yang ditunjukkan pada bagian 2.8. Kedua istilah ini terkait oleh aturan perkalian.

Ketika dua istilah $\text{[math]}$ dan $\text{[math]}$ Nampak serupa namun mempengaruhi solusi suatu persamaan dengan cara yang berbeda

Istilah $\text{[math]}$ menjaga konservasi dalam $\text{[math]}$ . Semua variabel berada di dalam (di sebelah kanan) divergensi $\text{[math]}$ sehingga ketika kita mengintegrasikannya di atas selalu volume V, dapat sepenuhnya diubah oleh teorema Gauss menjadi dari fluks $\text{[math]}$ pada $\text{[math]}$ .
Jika kita membagi V menjadi dua sub-volume $\text{[math]}$ dan $\text{[math]}$ , integral permukaannya juga terbagi menjadi dua permukaan $\text{[math]}$ dan $\text{[math]}$ , dimana $\text{[math]}$ adalah bagian dari permukaan yang umum untuk kedua volume.
Fluks pada $\text{[math]}$ untuk setiap sub-volume memiliki magnitudo yang sama tetapi tanda yang berlawanan, karena vektor luas permukaan dS mengarah keluar dari volume ke arah yang berlawanan. Fluks ini saling membatalkan, sehingga jumlah integral di atas $\text{[math]}$ dan $\text{[math]}$ identik sama dengan integral di atas $\text{[math]}$ .
Dengan demikian, istilah $\text{[math]}$ memastikan konservasi dalam $\text{[math]}$ melintasi suatu permukaan yang memisahkan wilayah domain aliran. Konsevasi dijamin di semua titik pada batas $\text{[math]}$ untuk setiap sub-volume.
Bentuk ( $\text{[math]}$ ) tidak dapat diubah menjadi integral permukaan sehingga tidak menjamin konservasi. Sebaliknya, ini memastikan terbatasnya, seperti yang ditunjukkan oleh solusi $\text{[math]}$ dalam persamaan berikut dalam satu dimensi (x) (1D).

Solusi persamaan ini memiliki bentuk $\text{[math]}$ . Jika $\text{[math]}$ seragam, maka profil $\text{[math]}$ tidak berubah tetapi hanya translasi pada kecepatan $\text{[math]}$ seperti yang ditunjukkan dalam diagram sebelah kiri. Jika $\text{[math]}$ bervariasi dengan x, profil berubah, misalnya menjadi lebih datar, seperti yang ditunjukkan dalam diagram sebelah kanan.

Dalam kedua kasus tersebut, profil $\text{[math]}$ tetap berada dalam batasan asli $\text{[math]}$ dan $\text{[math]}$ ; solusinya dikatakan terbatas. Meskipun perilakunya di ilustrasikan salam 1D, hal ini berlaku juga untuk 3D
Dengan demkian, istilah $\text{[math]}$ memastikan terbatasnya. Sebaliknya, istilah $\text{[math]}$ , sementara memastikan konservasi, tidak menjamin terbatasnya ketika $\text{[math]}$ . Kedua istilah tersebut terhubung oleh $\text{[math]}$ yang mengubah $\text{[math]}$ karena ekspansi/kontraksi fluida, seperti yang dibahas dalam bagian 2.4. Efeknya diilustrasikan oleh datarnya profil dalam diagram sebelah kanan, karena $\text{[math]}$ yang tidak seragam berkorelasi dengan $\text{[math]}$ .