10.2.6 Dekomposisi LU
Metode langsung lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah metode LU atau secara umum metode PLU (di mana P merujuk pada proses pivoting yang disebutkan di atas). Dalam buku ini, hanya dirujuk pada metode faktorisasi LU, yang merupakan variasi dari metode eliminasi Gauss. Keuntungan dari metode-metode ini dibandingkan dengan metode eliminasi Gauss adalah bahwa setelah faktorisasi (P)LU dilakukan, sistem linear dapat dipecahkan sebanyak yang diperlukan untuk nilai-nilai yang berbeda dari vektor b di sisi kanan tanpa melakukan eliminasi tambahan, yang masih diperlukan dengan metode Gauss.
Berdasarkan eliminasi yang dilakukan pada bagian sebelumnya, Persamaan (10.1) diubah menjadi matriks segitiga atas seperti yang diberikan oleh Persamaan (10.9), yang dapat ditulis sebagai berikut,
Dengan menggunakan notasi matriks kompak, Persamaan (10.13) dapat disederhanakan menjadi
Biarkan L menjadi matriks segitiga bawah unit (elemen diagonal disetel menjadi 1 agar faktorisasi menjadi unik) yang diberikan oleh
sehingga jika Persamaan (10.14) dikalikan dengan L, Persamaan (10.1) dapat dipulihkan. Jika ini berlaku, maka dapat ditulis sebagai berikut:
Berdasarkan properti matriks, dapat disimpulkan bahwa
dan
Persamaan (10.17) menunjukkan bahwa A ditulis sebagai hasil kali dari matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas yang benar, yang dikenal sebagai faktorisasi LU.