Gaya Hidrostatis pada Permukaan Bidang
Gaya Hidrostatis pada Permukaan Bidang. Ketika suatu permukaan tenggelam dalam fluida, gaya-gaya berkembang pada permukaan tersebut karena fluida. Penentuan gaya-gaya ini penting dalam desain tangki penyimpanan, kapal, bendungan, dan struktur hidraulik lainnya. Untuk fluida pada istirahat, kita tahu bahwa gaya harus tegak lurus terhadap permukaan karena tidak ada tegangan geser yang hadir. Kita juga tahu bahwa tekanan akan bervariasi secara linear dengan kedalaman seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.16 jika fluida tidak dapat dimampatkan. Untuk permukaan horizontal, seperti dasar tangki yang diisi dengan cairan (Gambar 2.16a), besarnya gaya resultan adalah FR = pA, di mana p adalah tekanan seragam di dasar dan A adalah luas dasar. Untuk tangki terbuka yang ditunjukkan, p = 𝛾h. Perhatikan bahwa jika tekanan atmosfer bertindak pada kedua sisi dasar, seperti yang diilustrasikan, gaya resultan pada dasar hanya disebabkan oleh cairan di dalam tangki. Karena tekanannya konstan dan terdistribusi secara merata di seluruh dasar, gaya resultan beraksi melalui centroid dari luas, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.16a. Seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.16b, tekanan pada ujung tangki tidak terdistribusi secara merata. Penentuan gaya resultan untuk situasi seperti ini disajikan sebagai berikut.
Untuk kasus yang lebih umum di mana suatu permukaan datar tenggelam miring, seperti yang diilustrasikan dalam Gambar 2.17, penentuan gaya resultan yang bekerja pada permukaan menjadi lebih rumit. Untuk saat ini, kita akan mengasumsikan bahwa permukaan fluida terbuka ke atmosfer. Biarkan datar di mana permukaan berada bersilangan dengan permukaan bebas di 0 dan membentuk sudut θ dengan permukaan ini seperti dalam Gambar 2.17. Sistem koordinat x–y didefinisikan sehingga 0 adalah titik asal dan y = 0 (yaitu sumbu x) ditujukan sepanjang permukaan seperti yang ditunjukkan. Luasnya dapat memiliki bentuk yang sewenang-wenang seperti yang ditunjukkan. Kita ingin menentukan arah, lokasi, dan besarnya gaya resultan yang bekerja pada satu sisi dari area ini karena cairan yang berkontak dengan area tersebut. Pada kedalaman tertentu, h, gaya yang bekerja pada dA (area diferensial pada Gambar 2.17) adalah dF = 𝛾h dA dan tegak lurus terhadap permukaan. Dengan demikian, besarnya gaya resultan dapat ditemukan dengan menjumlahkan gaya diferensial ini di seluruh permukaan. Dalam bentuk persamaan:
Di mana h=y sin(θ). Untuk 𝛾 dan θ yang konstan,
Integral yang muncul dalam Persamaan 2.17 adalah momen pertama dari luas terhadap sumbu x, sehingga kita dapat menulisnya sebagai:
di mana yc adalah koordinat y dari centroid dari luas A yang diukur dari sumbu x yang melalui 0. Persamaan 2.17 bisa ditulis sebagai:
atau lebih sederhana lagi sebagai:
di mana, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di sisi, hc adalah jarak vertikal dari permukaan fluida ke centroid dari luas. Perhatikan bahwa magnitudo gaya tidak tergantung pada sudut θ. Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di sisi, gaya hanya tergantung pada berat jenis fluida, luas total, dan kedalaman centroid dari luas di bawah permukaan. Pada dasarnya, Persamaan 2.18 menunjukkan bahwa magnitudo gaya resultan sama dengan tekanan di centroid dari area dikalikan dengan luas total. Karena semua gaya diferensial yang dijumlahkan untuk mendapatkan FR tegak lurus terhadap permukaan, maka FR juga harus tegak lurus terhadap permukaan.
Meskipun intuisi kita mungkin menyarankan bahwa gaya resultan seharusnya melewati centroid dari luas, ini sebenarnya tidak terjadi. Koordinat y, yR, dari gaya resultan dapat ditentukan dengan menjumlahkan momen-momen sekitar sumbu x. Artinya, momen dari gaya resultan harus sama dengan momen dari gaya tekanan yang didistribusikan, atau
dan, karena FR =𝛾Ayc sin(θ)
Integral pada penyebut adalah momen kedua dari luas (moment inersia), Ix , terhadap sumbu yang terbentuk oleh perpotongan bidang yang memuat permukaan dan permukaan bebas (sumbu x). Dengan demikian, kita dapat menulisnya sebagai:
Sekarang kita bisa menggunakan teorema sumbu sejajar untuk mengekspresikan Ix sebagai:
di mana Ixc adalah momen kedua dari luas terhadap suatu sumbu yang melewati centroidnya dan sejajar dengan sumbu x. Dengan demikian,
Seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan 2.19 dan gambar di sisi, gaya resultan tidak melewati centroid tetapi untuk permukaan non-horizontal selalu berada di bawahnya, karena Ix/−yc A>0. Koordinat xR , untuk gaya resultan dapat ditentukan dengan cara yang serupa dengan menjumlahkan momen-momen sekitar sumbu y. Dengan demikian,
dan, dengan demikian
di mana Ixy adalah produk inersia dengan menghormati sumbu x dan y. Sekali lagi, dengan menggunakan teorema sumbu sejajar, kita dapat menulis:
di mana Ixyc adalah produk inersia dengan menghormati sistem koordinat ortogonal yang melewati centroid dari luas dan terbentuk oleh translasi sistem koordinat x−y. Jika area terendam bersifat simetris dengan sumbu yang melewati centroid dan sejajar dengan sumbu x atau y, gaya resultan harus berada sepanjang garis x=xc, karena Ixyc secara identik nol dalam kasus ini. Titik di mana gaya resultan bekerja disebut pusat tekanan. Perlu dicatat dari Persamaan 2.19 dan 2.20 bahwa saat yc meningkat, pusat tekanan bergerak lebih dekat ke centroid area. Karena yc=hc sin𝜃, jarak yc akan meningkat jika kedalaman perendaman, hc , meningkat, atau, untuk kedalaman tertentu, luas diputar sehingga sudut, u, berkurang. Dengan demikian, gaya hidrostatik di sebelah kanan pintu gerbang yang ditunjukkan pada gambar di margin beraksi lebih dekat ke centroid pintu gerbang daripada gaya di sisi kiri. Koordinat centroid dan momen inersia untuk beberapa area umum diberikan dalam Fig. 2.18.
