12.5 Hubungan NVF-TVD

Hubungan NVF-TFD. Kedua formulasi NVF dan TVD menerapkan Keterbatasan dengan pendekatan yang berbeda, yang dapat ditunjukkan memiliki hubungan yang agak terkait. Ini dilakukan dengan pertama-tama mendapatkan hubungan antaradan kemudian membandingkan NVF-CBC (Persamaan 12.13) dengan TVD-CBC (Persamaan 12.40), dan akhirnya menyajikan transformasi umum yang memungkinkan hubungan fungsional dari skema TVD apa pun ditulis dalam kerangka kerja NVF dan sebaliknya.

Hubungan antara dan dapat dengan mudah diperoleh dengan memulai dari definisi dan diperoleh sebagai:

Dengan menggunakan Persamaan (12.45), sejumlah skema linear dapat dibandingkan dalam dua kerangka kerja tersebut. Pembatas yang mewakili skema Upwind dalam formulasi TVD juga setara dengan skema upwind dalam formulasi NVF (yaitu, ). Ini mengikuti dari fakta bahwa Skema upwind diberlakukan sebagai batas untuk TVD-CBC ketika kondisi yang setara dalam NVF-CBC diperoleh sebagai:

Ini juga mewakili kondisi untuk menerapkan skema Upwind dalam NVF-CBC. Selain itu, pada NVF-CBC, hubungan fungsional harus meningkat monoton di wilayah Pada diagram Sweby, wilayah tersebut meluas di selang Kedua wilayah tersebut mewakili interval yang sama seperti yang ditunjukkan oleh hubungan berikut:

Selanjutnya, untuk kondisi TVD-CBC

Kondisi yang setara dalam NVF-CBC dapat diperoleh sebagai berikut:

Oleh karena itu,

Kondisi terakhir yang diberlakukan oleh TVD-CBC pada diberikan oleh

Kondisi setara menggunakan NVF-CBC diperoleh sebagai

yang dapat dinormalisasi untuk menghasilkan

Ini lebih membatasi daripada NVF-CBC dan merupakan satu-satunya perbedaan antara kedua formulasi tersebut. Berdasarkan kondisi ini, TVD-CBC dan NVF-CBC yang dimodifikasi akan terlihat seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 12.14a dengan wilayah monoton yang berkurang menjadi garis upwind dan area biru. Sementara TVD-CBC yang dimodifikasi dan NVF-CBC (yaitu, kondisi pada NVF-CBC bersesuaian dengan pada TVD-CBC) akan terlihat seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 12.14b. Mengenai akurasi orde kedua, dikatakan bahwa untuk skema TVD agar akurat orde kedua, harus melewati titik (1, 1), yaitu Nilai-nilai setara menggunakan NVF ditemukan sebagai,

Gambar 12.14 a TVD-CBC pada Diagram Sweby dan Variabel Dinormalisasi. b NVF-CBC pada Diagram Sweby dan Variabel Dinormalisasi. c TVD-CBC pada Diagram Sweby dan Variabel Dinormalisasi untuk skema orde kedua.

Seperti yang disebutkan sebelumnya, Van Leer mendemonstrasikan bahwa setiap skema orde kedua dapat ditulis sebagai rata-rata tertimbang dari skema CD dan SOU. Oleh karena itu, hubungan fungsionalnya harus berada di antara hubungan fungsional dari skema CD dan SOU dengan wilayah monotonik TVD-CBC mereka dikurangi menjadi garis upwind dan area biru yang ditunjukkan pada diagram Sweby dan NVD dalam Gambar 12.14c.

Prosedur di atas dapat digeneralisasi untuk mentransformasikan setiap skema TVD menjadi skema NVF yang setara dan sebaliknya. Mulai dengan skema dalam kerangka kerja NVF, nilai di wajahdiungkapkan sebagai,