Iterative Methods

Iterative Methods. Metode iteratif mengikuti prosedur tebak-dan-koreksi untuk secara bertahap menyempurnakan solusi yang diperkirakan dengan secara berulang kali menyelesaikan sistem persamaan diskrit. Mari kita pertimbangkan sebuah metode iteratif Gauss-Seidel yang sangat sederhana. Loop solusi keseluruhan untuk metode ini dapat ditulis sebagai berikut:
(a) Tebak nilai diskrit T di semua elemen grid dalam domain.
(b) Kunjungi setiap elemen grid secara bergantian. Perbarui T menggunakan

Nilai tetangga diperlukan untuk pembaruan . Ini diasumsikan dikenal pada nilai-nilai saat ini. Dengan demikian, elemen grid yang telah dikunjungi akan memiliki nilai T yang diperbarui dan yang belum akan memiliki nilai lama.

(d) Periksa apakah kriteria konvergensi yang sesuai terpenuhi. Persyaratan, misalnya, bisa menjadi bahwa perubahan maksimum dalam nilai-nilai titik grid T kurang dari 1%. Jika kriteria terpenuhi, berhenti. Jika tidak, kembali ke langkah b dan ulangi.

Prosedur iterasi yang dijelaskan di sini tidak dijamin akan konvergen ke sebuah solusi untuk kombinasi acak dari dan . Konvergensi proses dijamin untuk masalah linear jika kriteria Scarborough terpenuhi. Kriteria Scarborough mensyaratkan bahwa dan harus memenuhi

Matriks yang memenuhi kriteria Scarborough memiliki dominasi diagonal. Skema Gauss-Seidel dapat diimplementasikan dengan penyimpanan yang sangat sedikit. Yang dibutuhkan hanyalah penyimpanan untuk nilai diskrit T di elemen grid. Koefisien dapat dihitung secara langsung jika diinginkan, karena seluruh matriks koefisien untuk domain tidak diperlukan saat memperbarui nilai T di titik grid mana pun. Selain itu, sifat iteratif dari skema ini membuatnya sangat cocok untuk masalah non-linear. Jika koefisien bergantung pada T, mereka dapat diperbarui menggunakan nilai T yang berlaku saat iterasi berlangsung. Namun demikian, skema Gauss-Seidel jarang digunakan dalam praktik untuk menyelesaikan sistem yang dihadapi dalam CFD. Tingkat konvergensi skema tersebut menurun menjadi tingkat yang tidak dapat diterima jika sistem persamaannya besar. Di Bab 10, metode multigrid aljabar akan digunakan untuk mempercepat tingkat konvergensi dari skema iteratif dan meningkatkan kinerjanya.