Kesulitan Utama
Pada bab-bab sebelumnya, persamaan konservasi umum yang dibahas dapat direformulasi menjadi persamaan yang serupa dengan persamaan kontinuitas dan momentum. Namun, teknik numerik yang disajikan sampai saat ini tidak cukup untuk memungkinkan penyelesaian persamaan Navier-Stokes. Menyelesaikan aliran fluida umum membutuhkan algoritma [1] yang dapat menangani kopling tekanan kecepatan. Untuk memahami masalah ini, persamaan kontinuitas dan momentum direproduksi di bawah ini.
Bahwa Persamaan (15.1) dan (15.2) bersifat nonlinear bukanlah kesulitan yang tidak dapat diatasi, karena masalah semacam ini biasanya ditangani dengan mengadopsi pendekatan iteratif. Selain itu, Persamaan (15.2) adalah persamaan vektor, yang ketika ditulis dalam bentuk komponennya menghasilkan sistem persamaan skalar yang dapat diselesaikan secara berurutan. Selain itu, tensor tegangan dapat direformulasikan menjadi istilah difusi dan diperlakukan secara implisit, dengan bagian keduanya (yaitu transpose dari gradien kecepatan) dievaluasi secara eksplisit berdasarkan nilai iterasi sebelumnya dan ditambahkan ke sumber. Masalah utama yang tidak dapat ditangani secara langsung dengan numerik dari persamaan skalar umum, adalah tidak tersedianya persamaan eksplisit untuk menghitung medan tekanan yang muncul dalam persamaan momentum.
Sebuah tinjauan terhadap Persamaan (15.1) dan (15.2) mengungkapkan bahwa sementara medan kecepatan dapat dihitung menggunakan persamaan momentum, medan tekanan yang muncul dalam persamaan momentum tidak dapat dihitung secara langsung dari persamaan kontinuitas. Kopling implisit yang kuat ini dapat dibuat lebih jelas dengan menulis kembali kumpulan persamaan dalam bentuk matriks sebagai
Dalam bentuk ini, Persamaan (15.3) menunjukkan blok diagonal nol dalam sistem, yang merupakan karakteristik dari masalah titik pelana, menunjukkan bahwa tidak mungkin untuk mempertahankan solusi medan tekanan dan kecepatan dengan cara iteratif apa pun. Oleh karena itu, sebuah persamaan untuk tekanan diperlukan dan harus dihasilkan. Salah satu pendekatan adalah dengan hanya mereformulasi sistem persamaan momentum dan kontinuitas dengan mendekomposisi matriks A menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U) sebagai
Ini pada dasarnya -BF(-1)B(T) adalah pendekatan yang perlu diikuti untuk secara iteratif menyelesaikan persamaan Navier-Stokes.
Teknik ini tercermin dalam algoritma klasik SIMPLE terpisah (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations) dari Patankar dan Spalding [1–3].
Prosedur solusi didasarkan pada mereformulasi persamaan Navier-Stokes dalam bentuk persamaan momentum dan tekanan, yang kemudian didiskritisasi dan diselesaikan secara berurutan. Persamaan tekanan dibangun dengan menggabungkan persamaan momentum yang semi-didiskritisasi dan kontinuitas (pendekatan dari matriks komplement Schur).
Algoritma ini dikendalikan oleh prosedur iteratif tipe Picard di mana persamaan momentum diselesaikan menggunakan medan tekanan dari iterasi sebelumnya. Medan kecepatan yang dihasilkan mempertahankan momentum tetapi tidak selalu massa. Medan kecepatan ini kemudian digunakan untuk membentuk persamaan tekanan yang solusinya digunakan untuk memperbaiki baik medan tekanan maupun kecepatan sehingga menerapkan konservasi massa. Iterasi baru kemudian dimulai dan urutan diulangi sampai medan kecepatan dan tekanan memenuhi baik konservasi massa maupun momentum.
Algoritma ini dapat dijelaskan dalam bentuk matriks sebagai
diikuti oleh pembaruan pada medan kecepatan menggunakan
