Non-dimensionalization Procedure

Prosedur Non-Dimensionalisasi

Prosedur non-dimensionalisasi. Persamaan diferensial yang mewakili hukum konservasi jarang dipecahkan menggunakan variabel dimensi. Praktik umum adalah menuliskan persamaan-persamaan ini dalam bentuk tak berdimensi menggunakan besaran tak berdimensi yang diperoleh melalui penggunaan skala karakteristik yang tepat. Penggunaan variabel tak berdimensi memiliki beberapa keunggulan. Ini memungkinkan pengurangan jumlah parameter yang sesuai untuk masalah yang dipertimbangkan dan membantu mengungkapkan besaran relatif dari berbagai istilah dalam persamaan konservasi dan oleh karena itu istilah-istilah yang dapat diabaikan.

Ini menyederhanakan persamaan yang akan diselesaikan dan hanya meninggalkan istilah-istilah dengan urutan besaran yang serupa, yang menghasilkan akurasi numerik yang lebih baik. Selain itu, solusi yang dihasilkan akan berlaku untuk semua masalah yang dinamisanya serupa.

Sebuah variabel dimensional diubah menjadi variabel tak berdimensi dengan membagi variabel tersebut dengan suatu kuantitas (yang terdiri dari satu atau lebih sifat fisik) yang memiliki dimensi yang sama dengan variabel asli. Sebagai contoh, koordinat spasial dapat dibagi dengan panjang karakteristik; kecepatan dapat dibagi dengan kecepatan karakteristik atau kombinasi dari kuantitas lref =qref lref yang secara kolektif memiliki unit yang sama dengan kecepatan (m/s); tekanan biasanya dibagi dengan tekanan dinamis referensi qref vref2; waktu dapat dibagi dengan rasio panjang karakteristik terhadap kecepatan referensi lref = vref , dan seterusnya. Cara terbaik untuk sepenuhnya memahami bagaimana menulis persamaan dalam bentuk tak berdimensi adalah melalui contoh. Untuk itu, aliran tak dapat dimampatkan dengan viskositas dan konduktivitas termal konstan, dan dengan gaya-gaya tubuh yang bertindak dalam arah y (yaitu, percepatan gravitasi diberikan oleh g ¼ ð Þ 0; g; 0 ) dipertimbangkan. Persamaan-persamaan yang mengatur konservasi massa, momentum, dan energi dalam sistem koordinat kartesian tiga dimensi tanpa pembangkitan panas diberikan oleh

Ketika gaya-gaya tubuh memiliki magnitudo yang diabaikan dibandingkan dengan gaya-gaya lainnya, istilah qg dapat diatur menjadi nol dan dihilangkan dari persamaan. Dalam situasi seperti itu, medan aliran tidak bergantung pada medan suhu dan solusi untuk medan kecepatan dapat ditetapkan secara terpisah diikuti oleh solusi untuk medan suhu. Namun, untuk adanya aliran, fluida harus dipaksa melewati domain. Oleh karena itu, fluida harus memiliki kecepatan masuk. Kecepatan ini menjadi parameter penting (kecepatan karakteristik) saat menulis persamaan dalam bentuk tak berdimensi, dan mekanisme transfer panas, jika ada, dikatakan terjadi dengan konveksi terpaksa.

Di sisi lain, ketika medan aliran secara alami terbentuk karena perbedaan suhu dalam domain, gaya-gaya tubuh tidak dapat diabaikan. Dalam situasi seperti itu, variasi suhu menyebabkan variasi densitas (seperti yang disebutkan sebelumnya), yang menimbulkan gaya apungan yang mendorong aliran. Dalam kasus ini, transfer panas dikatakan terjadi melalui konveksi alami. Karena aliran diinisiasi secara alami, kecepatan karakteristik tidak terlihat dan tidak dapat menjadi bagian dari bilangan tak berdimensi karena skala kecepatannya tidak diketahui. Oleh karena itu, untuk menulis kecepatan dalam bentuk tak berdimensi, kombinasi dari kuantitas fisik yang memiliki dimensi yang sama dengan kecepatan harus digunakan. Diskusi berikut mengasumsikan masalah konveksi alami.

Jika perbedaan suhu $Δ T = T - T_{1}$ (di mana $T_{1}$ adalah suhu referensi antara suhu minimum dan maksimum dalam domain, biasanya diambil sebagai nilai rata-rata) kecil sehingga istilah-istilah orde $Δ T^{2}$ atau lebih tinggi dapat diabaikan, maka nilai densitas pada suhu $T$ dapat ditulis sebagai fungsi dari nilainya pada suhu referensi $T_{1}$ menggunakan ekspansi deret Taylor yang dipotong sebagai berikut:

di mana istilah-istilah orde $Δ T^{2}$ atau yang lebih tinggi diabaikan. Memperkenalkan koefisien ekspansi volume $β$ yang didefinisikan sebagai

persamaan untuk densitas (atau persamaan keadaan) menjadi

yang dikenal dalam literatur dengan aproksimasi Boussinesq [11]. Dengan menggunakan ekspresi ini untuk $ρ$ hanya dalam istilah gaya tubuh dan menunjukkan nilai densitas konstan dengan $ρ$ untuk menyederhanakan notasi, persamaan momentum-y diubah menjadi

Hal ini jelas menunjukkan bahwa dalam menyelesaikan masalah konveksi alami, persamaan momentum dan energi saling terkait sehingga memerlukan solusi simultan dari kedua persamaan tersebut. Bentuk tak berdimensi dari persamaan konservasi diperoleh dengan mendefinisikan parameter tak berdimensi berikut:

di mana L adalah panjang karakteristik, $μ$ adalah viskositas dinamis fluida, $T_{max}$ adalah suhu maksimum dalam domain, dan tanda ^ digunakan untuk menunjukkan besaran non-dimensi. Berbagai ekspresi dalam persamaan konservasi ditulis dalam hal variabel baru seperti yang dijelaskan selanjutnya. Prosedur ini dijelaskan dengan mempertimbangkan sebuah istilah khas dari setiap kategori.

Istilah khas dalam persamaan kontinuitas:

Istilah khas dalam persamaan momentum:

Istilah khas dalam persamaan energi:

Dengan menggantikan istilah dengan ekspresi ekivalennya, bentuk tak berdimensi dari persamaan kontinuitas, momentum, dan energi diperoleh sebagai

di mana Gr adalah nomor Grashof, Pr adalah nomor Prandtl, dan v adalah viskositas kinematik yang didefinisikan sebagai

Nomor Grashof dan Prandtl [12–14] adalah kelompok tak berdimensi yang terbentuk dari kombinasi sifat fisik yang terlibat. Oleh karena itu, jumlah parameter yang memengaruhi solusi telah dikurangi menjadi dua dan solusi dapat dihasilkan untuk nilai-nilai yang berbeda dari kedua parameter ini. Selain itu, setiap solusi tunggal akan berlaku untuk banyak kombinasi sifat fisik dari mana dua nomor ini terbentuk, selama kombinasi ini menghasilkan nilai-nilai Gr dan Pr untuk solusi yang diperoleh. Signifikansi fisik dari kedua bilangan tak berdimensi ini dan yang lainnya yang mungkin muncul saat menulis persamaan konservasi dalam bentuk tak berdimensi menggunakan parameter tak berdimensi lainnya dalam kondisi yang berbeda akan dibahas selanjutnya.