Penentuan Suku Pi
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk membentuk produk dimensi, atau istilah pi, yang muncul dalam analisis dimensi. Pada dasarnya, kita mencari metode yang memungkinkan kita membentuk istilah pi secara sistematis sehingga kita yakin bahwa mereka bersifat dimensi dan independen dan bahwa kita memiliki jumlah yang tepat. Metode yang akan kita deskripsikan secara detail dalam bagian ini disebut metode variabel berulang.
Akan membantu untuk memecah metode variabel berulang menjadi serangkaian langkah-langkah yang dapat diikuti untuk masalah apa pun yang diberikan. Dengan sedikit latihan, Anda akan dapat dengan mudah menyelesaikan analisis dimensi untuk masalah Anda.
Langkah 1
Daftar semua variabel yang terlibat dalam masalah tersebut. Langkah ini adalah langkah yang paling sulit, dan tentunya sangat penting bahwa semua variabel yang relevan dimasukkan. Jika tidak, analisis dimensional tidak akan benar! Kami menggunakan istilah variabel untuk mencakup setiap kuantitas, termasuk konstanta dimensional dan nondimensional, yang memainkan peran dalam fenomena yang sedang diteliti. Semua kuantitas seperti itu harus dimasukkan dalam daftar variabel yang akan dipertimbangkan untuk analisis dimensional. Penentuan variabel harus dilakukan dengan pengetahuan eksperimental tentang masalah dan hukum fisika yang mengatur fenomena tersebut. Biasanya variabel akan mencakup yang diperlukan untuk menggambarkan geometri sistem (seperti diameter pipa), untuk mendefinisikan properti fluida (seperti viskositas fluida), dan untuk menunjukkan efek eksternal yang memengaruhi sistem (seperti penurunan tekanan penggerak per satuan panjang). Kelas variabel umum ini dimaksudkan sebagai kategori yang luas yang harus membantu dalam mengidentifikasi variabel. Kemungkinan besar, akan ada variabel yang tidak mudah masuk ke dalam salah satu dari kategori-kategori ini, dan setiap masalah perlu dianalisis dengan hati-hati.
Karena kami ingin menjaga jumlah variabel tetap minimal, sehingga kami dapat meminimalkan jumlah pekerjaan laboratorium, penting bahwa semua variabel bersifat independen. Sebagai contoh, jika dalam suatu masalah tertentu luas penampang pipa adalah variabel penting, maka baik luas penampang atau diameter pipa dapat digunakan, tetapi tidak keduanya, karena jelas mereka tidak independen. Demikian pula, jika baik densitas fluida, r, maupun berat jenis, g, adalah variabel penting, kami dapat menyebutkan r dan g, atau r dan g (gravitasi), atau g dan g. Namun, tidak benar menggunakan semua tiga karena g = rg; yaitu, r, g, dan g tidak independen. Perhatikan bahwa meskipun g biasanya konstan dalam suatu eksperimen tertentu, fakta tersebut tidak relevan dalam hal analisis dimensional.
Langkah 2
Ekspresikan setiap variabel dalam istilah dimensi dasar. Untuk masalah mekanika fluida yang khas, dimensi dasar akan menjadi M, L, dan T atau F, L, dan T. Secara dimensional, kedua set ini terkait melalui hukum kedua Newton (F = ma) sehingga F = MLT^-2. Sebagai contoh, r = ML^-3 atau r = FL^-4T^2. Dengan demikian, salah satu set dapat digunakan. Dimensi dasar untuk variabel khas yang ditemukan dalam masalah mekanika fluida tercantum dalam Tabel 1.1 di Bab 1.
Langkah 3
Tentukan jumlah istilah pi yang diperlukan. Ini dapat dicapai dengan menggunakan teorema pi Buckingham, yang menunjukkan bahwa jumlah istilah pi sama dengan k-r, di mana k adalah jumlah variabel dalam masalah (yang ditentukan dari Langkah 1) dan r adalah jumlah dimensi referensi yang diperlukan untuk menggambarkan variabel tersebut (yang ditentukan dari Langkah 2). Dimensi referensi biasanya sesuai dengan dimensi dasar dan dapat ditentukan dengan memeriksa dimensi variabel yang diperoleh dari Langkah 2. Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, mungkin ada kesempatan (biasanya jarang) di mana dimensi dasar muncul dalam kombinasi sehingga jumlah dimensi referensi kurang dari jumlah dimensi dasar. Kemungkinan ini diilustrasikan dalam Contoh 7.2.
Langkah 4
Pilih sejumlah variabel berulang, di mana jumlah yang diperlukan sama dengan jumlah dimensi referensi. Pada dasarnya apa yang kita lakukan di sini adalah memilih dari daftar asli variabel beberapa di antaranya dapat dikombinasikan dengan masing-masing sisanya.
Variabel berulang tidak boleh digunakan sendiri atau dikombinasikan untuk membentuk produk tanpa dimensi. Misalnya, variabel berulang itu sendiri tidak dapat digunakan untuk membentuk produk tanpa dimensi.
Untuk masalah tertentu, biasanya kita tertarik untuk menentukan bagaimana satu variabel tertentu dipengaruhi oleh variabel lain. Kita akan menganggap variabel ini sebagai variabel dependen, dan kita ingin variabel ini muncul hanya dalam satu istilah pi. Oleh karena itu, jangan pilih variabel dependen sebagai salah satu variabel berulang, karena variabel berulang umumnya akan muncul dalam lebih dari satu istilah pi.
Langkah 5
Bentuk sebuah istilah pi dengan mengalikan salah satu variabel nonulang dengan hasil kali variabel berulang, masing-masing dinaikkan ke eksponen yang akan membuat kombinasi tersebut tanpa dimensi. Pada dasarnya, setiap istilah pi akan berbentuk uiua1iub2iuc3i di mana ui adalah salah satu variabel nonulang; u1, u2, dan u3 adalah variabel berulang; dan eksponen ai, bi, dan ci ditentukan agar kombinasi tersebut tanpa dimensi.
Langkah 6
Ulangi untuk setiap variabel nonulang yang tersisa. Set pi yang dihasilkan akan sesuai dengan jumlah yang dibutuhkan dari Langkah 3. Jika tidak, periksa pekerjaan Anda - Anda telah melakukan kesalahan!
Langkah 7
Periksa semua istilah pi yang dihasilkan untuk memastikan mereka tidak memiliki dimensi. Mudah untuk membuat kesalahan dalam membentuk istilah pi. Namun, ini dapat diperiksa dengan hanya menggantikan dimensi variabel ke dalam istilah pi untuk memastikan bahwa mereka semua tanpa dimensi. Salah satu cara yang baik untuk melakukannya adalah dengan mengekspresikan variabel dalam bentuk M, L, dan T jika dimensi dasar F, L, dan T digunakan secara awal, atau sebaliknya, dan kemudian periksa apakah istilah pi tersebut tanpa dimensi.
Ekspresikan bentuk akhir sebagai hubungan di antara istilah pi, dan pikirkan apa artinya. Biasanya, bentuk akhir dapat ditulis sebagai
Hubungan antara istilah-istilah pi, dan Anda harus memikirkan apa artinya secara fisik. Perhatikan bahwa istilah-istilah pi ini membantu menyederhanakan masalah secara signifikan dengan mengurangi jumlah variabel yang harus Anda pertimbangkan, dan mereka memberikan informasi yang berharga tentang hubungan antarvariabel dalam masalah Anda.
Langkah 8
Setelah Anda memiliki istilah-istilah pi ini, Anda dapat menggunakan mereka untuk menganalisis fenomena Anda secara lebih dalam dan mendapatkan pemahaman yang lebih baik tentang hubungan antarvariabel dalam masalah tersebut.
dimana Π1 akan berisi variabel dependen dalam penyebut. Harus ditekankan bahwa jika Anda mulai dengan daftar variabel yang benar (dan langkah-langkah lain diselesaikan dengan benar), maka hubungan dalam istilah pi dapat digunakan untuk menggambarkan masalah tersebut. Anda hanya perlu bekerja dengan istilah-istilah pi—bukan dengan variabel individu. Namun, perlu dicatat dengan jelas bahwa ini adalah sejauh mana kita bisa pergi dengan analisis dimensional; yaitu, hubungan fungsional sebenarnya di antara istilah-istilah pi harus ditentukan dengan eksperimen.
Untuk mengilustrasikan langkah-langkah ini, kita akan kembali mempertimbangkan masalah yang dibahas sebelumnya dalam bab ini yang berkaitan dengan aliran stabil fluida Newtonian inkompresibel melalui pipa melingkar horizontal yang panjang dan berdinding halus. Kami tertarik pada penurunan tekanan per satuan panjang, ∇𝑝ℓ, sepanjang pipa seperti yang diilustrasikan oleh gambar di pinggir teks. Pertama (Langkah 1), kita harus mencantumkan semua variabel yang relevan yang terlibat berdasarkan pengetahuan eksperimen tentang masalah tersebut. Dalam masalah ini, kita berasumsi bahwa
Dimana D adalah diameter pipa, r dan m adalah kerapatan dan viskositas fluida, secara berturut-turut, dan V adalah kecepatan rata-rata.
Selanjutnya (Langkah 2), kita mengungkapkan semua variabel dalam hal dimensi dasar. Dengan menggunakan F, L, dan T sebagai dimensi dasar, maka
Kita juga bisa menggunakan M, L, dan T sebagai dimensi dasar jika diinginkan—hasil akhirnya akan sama. Perhatikan bahwa untuk densitas, yang merupakan massa per unit volume (ML³), kita telah menggunakan hubungan F = MLT⁻² untuk menyatakan densitas dalam hal F, L, dan T. Jangan campuradukkan dimensi dasar; gunakan entah F, L, dan T atau M, L, dan T.
Sekarang kita bisa menerapkan teorema pi untuk menentukan jumlah pi term yang diperlukan. Pemeriksaan dimensi variabel dari Langkah 2 mengungkapkan bahwa ketiga dimensi dasar diperlukan untuk menggambarkan variabel-variabel tersebut. Karena ada lima (k = 5) variabel (jangan lupa hitung variabel dependen, ∇𝑝ℓ) dan tiga dimensi referensi yang diperlukan (r = 3), maka menurut teorema pi, akan ada (5 - 3 ) pi term yang diperlukan.
Variabel-variabel berulang yang akan digunakan untuk membentuk pi term harus dipilih dari daftar 𝐷, 𝜌, 𝜇, dan V. Ingat, kita tidak ingin menggunakan variabel dependen sebagai salah satu variabel berulang. Karena tiga dimensi referensi diperlukan, kita perlu memilih tiga variabel berulang. Umumnya, kita akan mencoba memilih variabel yang paling sederhana secara dimensi. Misalnya, jika salah satu variabel memiliki dimensi panjang, pilihlah itu sebagai salah satu variabel berulang. Dalam contoh ini, kita akan menggunakan D, V, dan p sebagai variabel berulang. Perhatikan bahwa ini independen secara dimensi, karena D adalah panjang, V melibatkan panjang dan waktu, dan p melibatkan gaya, panjang, dan waktu. Ini berarti bahwa kita tidak dapat membentuk produk tanpa dimensi dari himpunan ini.
Sekarang, mari kita membentuk dua pi terms (Langkah 5). Biasanya, kita akan mulai dengan variabel dependen dan menggabungkannya dengan variabel berulang untuk membentuk pi term pertama. Yaitu,
Karena kombinasi ini harus berdimensi, maka
Eksponen, a, b, dan c harus ditentukan sedemikian rupa sehingga hasil eksponen untuk setiap dimensi dasar — F, L, dan T — harus nol (sehingga kombinasi hasil dimensi).
Penyelesaian sistem persamaan aljabar ini memberikan nilai yang diinginkan untuk a, b, dan c. Ini mengikuti bahwa a = 1, b = -2, c = -1 dan, oleh karena itu,
Proses ini sekarang diulangi untuk variabel non-ulangan yang tersisa (Langkah 6). Dalam contoh ini, hanya ada satu variabel tambahan (𝜇) sehingga.
Atau
Dan maka dari itu,
Maka, dengan memecahkan persamaan ini secara bersamaan, diperoleh a = 1, b = -1, dan c = -1 sehingga.
Catat bahwa kita mendapatkan jumlah pi term yang benar sesuai dengan yang ditentukan dari Langkah 3.
Pada tahap ini, berhenti sejenak dan periksa apakah pi term tersebut benar-benar tak berdimensi (langkah 7). Kita akan memeriksanya menggunakan dimensi FLT dan MLT. Oleh karena itu,
atau sebagai alternatif,
Akhirnya (langkah 8), kita bisa menyatakan hasil analisis dimensional sebagai:
Hasil ini menunjukkan bahwa masalah ini dapat dipelajari dalam hal kedua pi term ini, daripada lima variabel asli yang kita mulai. Delapan langkah yang dilakukan untuk memperoleh hasil ini dirangkum oleh gambar di sisi margin.
Analisis dimensional tidak akan memberikan bentuk fungsi ∅ ̃. Ini hanya dapat diperoleh dari serangkaian eksperimen yang sesuai. Jika diinginkan, pi term dapat diatur kembali; yaitu, saling balik dari 𝜇/DVp bisa digunakan, dan tentu saja, urutan di mana kita menulis variabel bisa diubah. Dengan demikian, sebagai contoh, Π2 bisa diekspresikan sebagai
dan hubungan antara Π1 dan Π2 sebagai
Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di margin.
Ini adalah bentuk yang sebelumnya kita gunakan dalam pembahasan awal masalah ini (Pers. 7.22). Produk tak berdimensi pVD/𝜇 adalah salah satu yang sangat terkenal dalam mekanika fluida — nomor Reynolds. Nomor ini telah disinggung secara singkat dalam Bab 1 dan 6 dan akan dibahas lebih lanjut dalam Bagian 7.6.
Untuk merangkum, langkah-langkah yang harus diikuti dalam melakukan analisis dimensional menggunakan metode variabel berulang adalah sebagai berikut:
Langkah 1 : Daftar semua variabel yang terlibat dalam masalah.
Langkah 2 : Express setiap variabel dalam istilah dimensi dasar.
Langkah 3 : Tentukan jumlah pi term yang diperlukan.
Langkah 4 : Pilih sejumlah variabel berulang, di mana jumlah yang diperlukan sama dengan jumlah dimensi referensi (biasanya sama dengan jumlah dimensi dasar).
Langkah 5 : Bentuk sebuah pi term dengan mengalikan satu dari variabel non-berulang dengan hasil kali variabel berulang, masing-masing dipangkatkan dengan eksponen yang membuat kombinasinya tanpa dimensi.
Langkah 6 : Ulangi Langkah 5 untuk setiap variabel non-berulang yang tersisa.
Langkah 7 : Periksa semua pi term yang dihasilkan untuk memastikan mereka tidak memiliki dimensi dan independen.
Langkah 8 :Sajikan bentuk akhir sebagai hubungan di antara pi term dan pikirkan apa yang dimaksudkan.
