Persamaan Lapisan Batas Integral Momentum untuk Pelat Datar
Salah satu aspek penting dari teori lapisan batas adalah penentuan gaya tarik yang disebabkan oleh gaya geser pada suatu benda. Seperti yang dibahas dalam bagian sebelumnya, hasil tersebut dapat diperoleh dari persamaan diferensial utama untuk aliran lapisan batas laminar. Karena solusi tersebut sangat sulit diperoleh, menarik untuk memiliki metode pendekatan alternatif. Metode integral momentum yang dijelaskan dalam bagian ini menyediakan alternatif tersebut.
Kita pertimbangkan aliran seragam melewati pelat datar dan volume kontrol yang tetap seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 9.11. Sesuai dengan teori lanjutan dan eksperimen, kita mengasumsikan bahwa tekanan adalah konstan di seluruh lapangan aliran. Aliran yang memasuki volume kontrol di tepi depan pelat [bagian (1)] adalah seragam, sementara kecepatan aliran yang keluar dari volume kontrol [bagian (2)] bervariasi dari kecepatan hulu di tepi lapisan batas menjadi nol di pelat.
Cairan yang berdekatan dengan pelat merupakan bagian bawah permukaan kontrol. Permukaan atas bertepatan dengan garis arus tepat di luar tepi lapisan batas di bagian (2). Permukaan tersebut tidak perlu (bahkan sebenarnya tidak) bertepatan dengan tepi lapisan batas kecuali di bagian (2). Jika kita terapkan komponen x dari persamaan momentum (Eq. 5.22) untuk aliran fluida yang stabil dalam volume kontrol ini, kita dapatkan
di mana a untuk pelat lebar b
dan π adalah gaya gesek yang dihasilkan oleh pelat pada fluida. Perlu dicatat bahwa gaya bersih yang disebabkan oleh distribusi tekanan yang seragam tidak memberikan kontribusi pada aliran ini. Karena pelat adalah padat dan permukaan atas volume kontrol adalah garis arus, tidak ada aliran melalui area-area ini. Dengan demikian,
Atau
Meskipun tinggi β tidak diketahui, diketahui bahwa untuk konservasi massa laju aliran melalui bagian (1) harus sama dengan yang melalui bagian (2),
Ini dapat dituliskan sebagai:
Oleh karena itu, dengan menggabungkan Persamaan 9.20 dan 9.21, kita mendapatkan gaya tarik dalam istilah defisit momentum fluks melintasi keluaran volume kontrol sebagai:
Ide gagasan tentang defisit momentum diilustrasikan dalam gambar di pinggir. Jika aliran tidak bersifat kental, gaya tarik akan nol, karena kita akan memiliki uβU dan sisi kanan Persamaan 9.22 akan menjadi nol. Ini konsisten dengan fakta bahwa Οw=0 jika ΞΌ =0.2. Persamaan 9.22 menunjukkan fakta penting bahwa aliran lapisan batas pada plat datar diperintah oleh keseimbangan antara gaya tarik geser (sisi kiri Persamaan 9.22) dan penurunan momentum fluida (sisi kanan Persamaan 9.22). Saat x meningkat, d meningkat, dan gaya tarik meningkat. Penebalan lapisan batas diperlukan untuk mengatasi gaya tarik geser kental pada plat. Hal ini bertentangan dengan aliran pipa horizontal yang sepenuhnya berkembang di mana momentum fluida tetap konstan dan gaya geser diatasi oleh gradien tekanan sepanjang pipa.
Pengembangan Persamaan 9.22 dan penggunaannya pertama kali diajukan pada tahun 1921 oleh T. von KΓ‘rmΓ‘n, seorang ahli aerodinamika Hungaria/Jerman. Dengan membandingkan Persamaan 9.22 dan 9.4, kita melihat bahwa gaya tarik dapat dituliskan dalam hal ketebalan momentum, TM, seperti
Perhatikan bahwa persamaan ini berlaku untuk aliran laminar atau turbulent.
Distribusi tegangan geser dapat diperoleh dari Persamaan 9.23 dengan melakukan diferensiasi terhadap kedua sisi terhadap x untuk memperoleh
Kenaikan drag per panjang pelat, dπ/dx, terjadi dengan pengorbanan peningkatan ketebalan lapisan batas momentum, yang mewakili penurunan momentum fluida.
Karena dπ=Οw bdx (lihat Persamaan 9.19), maka berlaku
Oleh karena itu, dengan menggabungkan Persamaan 9.24 dan 9.25, kita memperoleh persamaan integral momentum untuk aliran lapisan batas pada pelat datar.
Seperti yang diilustrasikan dalam Contoh 9.4, persamaan integral momentum, Persamaan 9.26, dapat digunakan bersama dengan profil kecepatan yang diasumsikan untuk mendapatkan hasil perkiraan lapisan batas yang wajar. Akurasi dari hasil ini bergantung pada seberapa dekat bentuk profil kecepatan yang diasumsikan mendekati profil sebenarnya.
Oleh karena itu, kita mempertimbangkan profil kecepatan umum.
Dan
di mana koordinat tak berdimensi Y = y/πΏ bervariasi dari 0 hingga 1 melintasi lapisan batas. Fungsi tak berdimensi g(Y) dapat memiliki bentuk apa pun yang kita pilih, meskipun sebaiknya dipilih yang masuk akal.
sebagai pendekatan untuk profil lapisan batas, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di pinggir. Secara khusus, profil tersebut tentu harus memenuhi syarat batas u = 0 pada y = 0 dan u = U pada y = πΏ. Artinya,
Fungsi linear g(Y) = Y yang digunakan dalam Contoh 9.4 adalah salah satu profil yang mungkin. Kondisi lain, seperti dg/dY = 0 pada Y = 1 (yaitu, βu/βy = 0 pada y = d), juga bisa dimasukkan ke dalam fungsi g(Y) untuk mendekati profil yang sebenarnya lebih baik.
Untuk suatu g(Y) tertentu, gaya geser dapat ditentukan dari Persamaan 9.22 sebagai
Atau
di mana konstanta adimensi C1 memiliki nilai
Tekanan geser dinding juga dapat dituliskan sebagai
di mana konstanta adimensional C2 memiliki nilai
Dengan menggabungkan Persamaan 9.25, 9.27, dan 9.28, kita mendapatkan
yang dapat diintegrasikan dari πΏ = 0 pada x = 0 untuk memberikan
Atau
Untuk menggunakan Eqs. 9.29 dan 9.30 kita harus menentukan nilai-nilai C1 dan C2. Beberapa profil kecepatan yang diasumsikan dan nilai-nilai d yang dihasilkan diberikan dalam Gambar 9.12 dan Tabel 9.2. Semakin dekat bentuk yang diasumsikan mendekati profil sebenarnya (yaitu, Blasius), hasil akhirnya akan semakin akurat. Untuk bentuk profil yang diasumsikan, ketergantungan fungsional dari πΏ dan ππ€ pada parameter fisik π,π, π, dan x adalah sama. Hanya konstan yang berbeda. Jadi, ππΏ~(ππ₯/ππ)1/2 πΏπ
π1/2x=konstan dan ππ€ ~ (pπU3/x)1/2 , di mana Rex = pUx/π .
Seringkali nyaman menggunakan koefisien gesekan lokal tak berdimensi, cf , yang didefinisikan sebagai
untuk mengekspresikan gaya gesekan pada dinding. Dari Persamaan 9.30 kita mendapatkan nilai perkiraan
sementara hasil solusi Blasius diberikan oleh
Hasil ini juga ditunjukkan dalam Tabel 9.2.
Untuk sebuah plat datar dengan panjang / dan lebar b, drag gesekan bersih, df, dapat dinyatakan dalam istilah koefisien drag gesekan, CDf, sebagai
Atau
Kita menggunakan nilai perkiraan cf = (2C1,C2π/pUx)1/2, untuk mendapatkan
di mana Reβ=Uβ/v adalah bilangan Reynolds berdasarkan panjang pelat. Nilai yang sesuai yang diperoleh dari solusi Blasius (Eq. 9.32) dan ditunjukkan oleh gambar di margin memberikan
